一、选择题
1．(2024·高考全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2，6] C．[2，32]
B．[4，8] D．[22，32]
|2＋0＋2|解析：选A.圆心(2，0)到直线的距离d＝＝22，所以点P到直线的距离d1∈
2[2，32]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|1
＝22，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝2d1.因为d1∈[2，32]，所以S∈[2，6]，即△ABP
2面积的取值范围是[2，6]．
2．圆C与x轴相切于T(1，0)，与y轴正半轴交于A、B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－2)2＝4
解析：选A.由题意得，圆C的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2，故选A.
3．半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝22均相切，则该圆的标准方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 C．(x－2)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－22)2＋(y＋22)2＝4
|2－a－22|解析：选C.设圆心坐标为(2，－a)(a>0)，则圆心到直线x＋y＝22的距离d＝
2＝2，所以a＝2，所以该圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4，故选C.
4．(2024·湖南湘东五校联考)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有( )
A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
解析：选B.圆(x－3)2＋(y－3)2＝9的圆心为(3，3)，半径为3，圆心到直线3x＋4y－11
|3×3＋4×3－11|
＝0的距离d＝＝2，所以圆上到直线3x＋4y－11＝0的距离为2的点有2
32＋42个．故选B.
5．在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝( )
A.10 2
B.10 D．10
C．5
解析：选D.由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，因为过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，所以MP⊥MQ，所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10，故选D.
6．(2024·郑州模拟)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )
A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝37 C．x2＋y2＝4
D．x2＋y2＝1或x2＋y2＝37
解析：选D.如图，易知AC所在直线的方程为x＋2y－4＝0.点O|－4|45到直线x＋2y－4＝0的距离d＝＝>1，OA＝（－2）2＋32＝
5513，OB＝（－2）2＋（－1）2＝5，OC＝62＋（－1）2＝37，
所以以原点为圆心的圆若与三角形ABC有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，所以圆的半径为1或37，则该圆的方程为x2＋y2＝1或x2＋y2＝37.故选D.
二、填空题
7．(2024·南宁模拟)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．
解析：令P(2，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1， 1
所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB
211＝sin∠AOB≤， 22
当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝2， 2
2
|OH|21
于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，
|OP|22则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan 150°＝－答案：－
3 3
3. 3
8．已知动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到动直线l0
12
的最大距离为3，则＋的最小值为________．
2ac
解析：动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0. 又Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3， 所以
（4－1）2＋（0－m）2＝3，解得m＝0.
所以a＋c＝2.
12?1?5c2a?1?5121
又a>0，c>0，所以＋＝(a＋c)??2a＋c?＝2?2＋2a＋c?≥2?2＋22ac24
仅当c＝2a＝时取等号．
3
9答案： 4
9．(2024·桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考)设圆C满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为d.当d最小时，圆C的面积为________．
解析：设圆C的圆心为C(a，b)，半径为r，则点C到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.由题设知圆C截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，知圆C截x轴所得的弦长为2r，故r2＝2b2，又圆C截y轴所得的弦长为2，所以r2＝a2＋1，从而得2b2－a2＝1.又点C(a，b)|a－2b|到直线x－2y＝0的距离d＝，所以5d2＝(a－2b)2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2(a2＋b2)
5
??a＝b
＝2b－a＝1，当且仅当?22，即a2＝b2＝1时等号成立，此时d取得最小值，此时
?2b－a＝1?
2
2
c2a?9
·＝，当且2ac?4
r2＝2，圆C的面积为2π.
答案：2π 三、解答题
10．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4. →→
设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)． →→
由题设知CM·MP＝0， 故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0， 即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上． 又P在圆N上，从而ON⊥PM.
1
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
318
故l的方程为y＝－x＋.
33
41041016
又|OM|＝|OP|＝22，O到l的距离为，|PM|＝，所以△POM的面积为.
55511．(2024·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
??y＝k（x－1），
由?2得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. ??y＝4x
2k2＋4Δ＝16k＋16＞0，故x1＋x2＝k2.
2
4k2＋4
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝2.
k
4k2＋4
由题设知2＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.
k
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
y＝－x0＋5，??0
2
?2（y0－x0＋1）（x＋1）＝＋16，?2?0
??x0＝3，??x0＝11，解得?或?
?y0＝2?y0＝－6.??
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
→→→
(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA＋TP＝TQ，求实数t的取值范围．
解：(1)圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6，7)，半径为5. 由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0 因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1. 4－0 (2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2. 2－0设直线l的方程为y＝2x＋m， 即2x－y＋m＝0， 则圆心M到直线l的距离 |2×6－7＋m||m＋5|d＝＝. 55 BC?因为BC＝OA＝2＋4＝25，而MC＝d＋??2?， 222 2 2 （m＋5）2所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15. 5故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0. (3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)． →→→ 因为A(2，4)，T(t，0)，TA＋TP＝TQ， ??x2＝x1＋2－t，所以?(ⅰ) ?y2＝y1＋4.? 因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.(ⅱ) 将(ⅰ)代入(ⅱ)，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25. 于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上， 从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点， 所以5－5≤[（t＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5， 解得2－221≤t≤2＋221. 因此，实数t的取值范围是[2－221，2＋221 ]．
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