第三章圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2024北京,文5)已知双曲线??2
2
??2-y=1(a>0)的离心率是√5,则a=( )
A.√6 B.4
C.2
D.1
??2 解析∵双曲线的离心率e=??
=√5,c=√??2+1,
∴√??2+1??
=√5,解得a=1
2,故选D.
答案D 2.(多选题)下列双曲线中,以2x±3y=0为渐近线的是 ( A.??2??2
2??29?4
=1 B.??4
?9=1 C.
??2??2
4
?
9
=1
D.
??212
?
??2
27
=1
解析令等式右端为0,解得A,B,D中的渐近线方程均为2x±3y=0,C项中渐近线方程为3x±2y=0.答案ABD 3.若双曲线??2
??2
??2???2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( ) A.√75
4
3 B.4 C.3 D.5
3 解析由题意知??
4
2
??2
25??=3,则e=1+??2=
9
,
所以e=5
3.
答案D 4.(多选题)已知双曲线的方程为??24
?
??25
=1,则下列说法正确的是( )
A.焦点在y轴上
B.渐近线方程为2x±√5y=0 C.虚轴长为4 D.离心率为3
5
解析双曲线的方程为??2
4?
??25
=1,则双曲线焦点在y轴上;渐近线方程为2x±√5y=0;
虚轴长为2√5;离心率为3
2,判断知AB正确.
)
答案AB 5.若实数k满足0 ??225 ? ??29-?? =1与曲线25-??? ??2??29 =1的( ) B.实半轴长相等 D.离心率相等 ??225 解析由于0 ??2 ? ??29 ??29-?? =1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为 25-?? ?=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±√34-??,0), 故两曲线的焦距相同,故答案为A. 答案A 6.已知双曲线C: ??2?? 2? ??2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,且与椭圆12+??2 √2??2??23 =1有公共焦点,则 C的方程为( ) A.C. ??28??24 ?? ??2 =1 4=1 2 ??212 B.D.+ ??2 ??25 ?? ??24??23 =1 =1 ??2??26 解析由椭圆22 =1的焦点为(±3,0),可得双曲线的c=3,即a+b=9, 3 由双曲线的渐近线方程为y=±??x,可得??=则双曲线的方程为6?答案D 7.双曲线 ??24 ??2 ??23 ???? √2,解得2 a2=6,b2=3, =1.故选D. ? ??24 ??212 =1的焦点到渐近线的距离为 . ??212 解析双曲线?=1的焦点坐标为(-4,0),(4,0),渐近线方程为y=±√3x,故焦点(4,0)到渐近线 y=√3x的距离d=答案2√3 8.已知双曲线 ??2?? 4√3=2√3. √3+12? ??2??2=1的实轴长、虚轴长、焦距构成等差数列,则双曲线的渐近线方程 为 . 解析依题意有2a,2b,2c成等差数列,所以4b=2a+2c. 因为c=a+b,所以(2b-a)=a+b,解得a=4b,于是双曲线渐近线方程为y=±??x=±4x. 答案y=±4x 3 2 2 2 2 2 2 3??3 9.过双曲线 ??2??2? ??2??2=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直 径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于 . 解析令x=-c,得y=2,则|MN|=????2?? 2 2 ??42??2?? 2 . 2 由题意得a+c=,即a+ac=c-a, ∴(??)???-2=0, ∴??=2或??=-1(舍去),即离心率为2. 答案2 10.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=; 35 ?? ?? ??2 ?? (2)经过点C(-√3,√2),且与双曲线解(1)设所求双曲线的标准方程为 ?? 53 ??28 ? ??216 =1有共同的渐近线. ??2?? 2? ??2??22 =1(a>0,b>0), 2 2 2 则2b=8,e==,从而b=4,代入c=a+b,得a=9,故方程为 ?? ??2 ??2 ??29 ? ??2 16 =1. 3 2 (2)由题意可设所求双曲线方程为8?16=λ(λ≠0),将点C(-√3,√2)的坐标代入,得8?16=λ, 解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为 41 ??22 ? ??24 =1. 能力提升练 1.(多选题)已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程可能为( ) A.3-y=1 B.C. ??23??23??2??2 2 ?? ??29??212??27 =1 =1 =1 √3 D.21? 解析依题意,知渐近线与x轴的夹角为30°或60°,所以双曲线C的渐近线方程为y=±3x或 y=±√3x,根据选项检验可知ABD均可能.
2024学年新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程3.2.2双曲线的简单几何性质课后提升训练含解析人教A版必修一
