同济大学(高等数学)-第四章-不定积分

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第四章 不定积分

前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法．

第1节 不定积分的概念与性质

1.1 不定积分的概念

在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为

s?s(t)， 则质点在时刻t的瞬时速度表示为

v?s?(t)．

实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t的瞬时速度

v?v(t)， 求出质点的位移函数

s?s(t)．

即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．

1.1.1原函数

定义1 如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对任一x?I，都有

F?(x)?f(x) 或 dF(x)?f(x)dx， 那么函数F(x)就称为f(x)在区间I上的原函数．

例如，在变速直线运动中，s?(t)?v(t)，所以位移函数s(t)是速度函数v(t)的原函数； 再如，(sinx)'?cosx，所以sinx是cosx在(??,??)上的一个原函数．(lnx)'?所以lnx是

1在(0,??)的一个原函数． x1x(x?0),一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．

定理1 如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上一定存在可导函数F(x)，使对任一x?I都有 F?(x)?f(x)．

简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数．

定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论：

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若F?(x)?f(x)，则对于任意常数C，F(x)?C都是f(x)的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个．

假设F(x)和?(x)都是f(x)的原函数，则[F(x)??(x)]??0，必有F(x)??(x)?C,即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数．

因此我们有如下的定理：

定理2 若F(x)和?(x)都是f(x)的原函数，则F(x)??(x)?C（C为任意常数）．

若F?(x)?f(x)，则F(x)?C（C为任意常数）表示f(x)的所有原函数．我们称集合

?F(x)?C|???C????为f(x)的原函数族．由此，我们引入下面的定义．

1.1.2不定积分

定义2 在区间I上，函数f(x)的所有原函数的全体，称为f(x)在I上的不定积分， 记作

?f(x)dx．

其中?称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量． 由此定义，若F(x)是f(x)的在区间I上的一个原函数，则f(x)的不定积分可表示为

?f(x)dx?F(x)?C．

注 （1）不定积分和原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素．

（2）求不定积分，只需求出它的某一个原函数作为其无限个原函数的代表，再加

上一个任意常数C．

2例1 求?3xdx．

23解 因为(x3)??3x2,所以?3xdx?x?C．

例2 求?sinxcosxdx．

解 （1）因为(sin2x)??2sinxcosx,所以?sinxcosxdx?sin2x?C．

（2）因为(cos2x)???2cosxsinx,所以?sinxcosxdx??cos2x?C． （3）因为(cos2x)???2sin2x??4sinxcosx,所以

1sinxcosxdx??cos2x?C． ?41212例3 求?dx． 解 由于x?0时，(lnx)??内，?dx?lnx?C．

1x11，所以lnx是在(0,??)上的一个原函数，因此在(0,??)xx1x?ln(?x)??又当x?0时，

?11，所以ln(?x)是在(??,0)上的一个原函数，因此在(??,0)内，xx精品文档

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1?xdx?ln(?x)?C．

综上，?dx?lnx?C．

例4 在自由落体运动中，已知物体下落的时间为t，求t时刻的下落速度和下落距离． 解 设t时刻的下落速度为v?v(t)，则加速度a(t)?因此

v(t)?a(t)dt?gdt?gt?C，

dv． ?g（其中g为重力加速度）

dt1x??又当t?0时，v(0)?0，所以C?0．于是下落速度v(t)?gt． 又设下落距离为s?s(t)，则

ds?v(t)．所以 dts(t)??v(t)dt??gtdt?12gt?C， 212gt． 2又当t?0时，s(0)?0，所以C?0．于是下落距离s(t)?1.1.3不定积分的几何意义

设函数f(x)是连续的，若F?(x)?f(x)，则称曲线y?F(x)是函数f(x)的一条积分曲线．因此不定积分?f(x)dx?F(x)?C在几何上表示被积函数的一族积分曲线．

积分曲线族具有如下特点（如图4.1）：

（1）积分曲线族中任意一条曲线都可由其中某一条平移得到；

（2）积分曲线上在横坐标相同的点处的切线的斜率是相同的，即在这些点处对应的切线都是平行的．

图4-1

例5 设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程．

解 设曲线方程y?f(x)，曲线上任一点(x,y)处切线的斜率一个原函数．因为?2xdx?x2?C，又曲线过(1,2)，所以

2?1?C，C?1．

dy?2x，即f(x)是2x的dx于是曲线方程为

y?x2?1．

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