习题3－1
1．填空题
2,]上满足罗尔定理的?? ． 221?x（2）曲线y?e在点x? 处的切线与连接两点(0,1)与(1,)的弦平行．
e（1）函数y?sinx在区间[?解 （1）显然函数y?sinx在区间[?2????,]上满足罗尔定理的三个条件，所以存在22????（-，），使得y?(?)?0，即sin2??0,??0．
22（2） 由于函数y?e?x在区间[0,1]上连续，所以满足拉格朗日定理的条件．故(0,1)内可导，
（0，）1，使得存在x?y(1)?y(0)1?y?(x)，即?1??e??，解得??1?ln(e?1)．
1?0e2．证明下列恒等式 （1）arctanx?arccotx??2，x?(??,??)．
3 （2）3arccosx?arccos(3x?4x)??(?11?x?)． 22证 （1） 令f(x)?arctanx?arccotx，则?x?(??,??),f?(x)?0，所以f(x)?C（常数）．又f(0)??2,故f(x)?arctanx?arccotx??23,x?(??,??)．
11?x?), 22222（２） 令f(x)?3arccosx?arccos(3x?4x)，则?x?(?f?(x)??31?x2?3?12x21?(3x?4x)32??31?x2?3(1?4x2)(1?x)(1?4x)?0，
所以f(x)?C（常数）．又f(0)?f(?)??, 所以
1211f(x)?3arccosx?arccos(3x?4x3)??(??x?)．
223．证明：方程x?x?1?0只有一个正实数根．
证 存在性：令f(x)?x?x?1．则f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)??1?0,f(1)?1?0，根据零点定理知，至少存在??(0,1)，使得f(?)?0，即?是方程的一个正实数根；
唯一性：假设方程有两个正根?1,?2?(0,??)(设?1??2)，则f(x)在[?1,?2]上满足罗尔定理
44的条件，所以至少存在一点??[?1,?2],使f?(?)=5?+1=0，这与f?(x)?5x?1?0矛盾．说明
55方程x?x?1?0只有一个正实数根．
1
54．设函数f(x)在[0,?]上连续，在(0,?)内可导，证明：在(0,?)内至少存在一点?，使得
f?(?)sin??f(?)cos??0．
证 令F(x)?f(x)sinx．则F(x)在[0,?]上连续，在(0,?)内可导，并且F(0)?F(?)?0，故F(x)在[0,?]上满足罗尔定理的条件．因此，至少存在一点??(0,?)，使得F?(?)?0，亦即
f?(?)sin??f(?)cos??0．
5．设函数f(x)在[a,b]上二阶可导，且f(a)?f(b)?0，令F(x)?(x?a)f(x)，证明：在
(a,b)内至少存在一点?，使得F??(?)?0．
证
F(a)?F(b)?0，则F(x)在区间[a,b]上满足罗尔定理的条件，????(a,b)使得
F?(?)?0．又F?(x)?f(x)?(x?a)f?(x),可见F?(a)?0，故F?(x)在区间[a,?]上也满足罗尔
定理的条件，所以，????(a,?)?(a,b)，使得F??(?)?0．
6．证明下列不等式
（1） 当x?1时，e?ex； （2） 当b?a?0时，
xxb?abb?a． ?ln?baa证（1） 令f(x)?e，则f(x)在区间[1,x]上满足拉格朗日中值定理的条件，从而有
f(x)?f(1)?f?(?)(x?1)(1???x)，即ex?e?e?(x?1)?e(x?1)，从而ex?ex．
（２）令f(x)?lnx，则f(x)在区间[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件，从而有
b?abb?a1lnb?lna1lnb?lna1111． ?ln??，又由于??，所以??，亦
b?ab?a?baabb?aa7．设0?a?b，函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内至少存在一点?，使得f(b)?f(a)??f?(?)lnb． a证 令g(x)?lnx，则f(x)、g(x)在区间[a,b]上满足柯西中值定理的条件．从而
???(a,b)使
bf(b)?f(a)f?(?)f(b)?f(a)f?(?)，即 ，即f(b)?f(a)??f?(?)ln． ??1g(b)?g(a)g?(?)alnb?lna? 8．设0?a?b．证明：在(a,b)内至少存在一点?，使aeb?bea?(??1)e?(b?a)．
ex1,g(x)?，证 令函数f(x)?则f(x)、g(x)在区间[a,b]上满足柯西中值定理的条件．从xx 2
高等数学第3版(张卓奎 王金金)第三章习题解答
