高考数学一轮复习课后限时集训31平面向量的数量积与平面向
量应用举例理北师大版
平面向量的数量积与平面向量应用举例
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一、选择题
1．(2024·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝ ( ) A．4 C．2
2
B．3 D．0
B [a·(2a－b)＝2a－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.]
2．已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为( ) A.4
13
4B．－
135D．－
4
5C. 4
D [∵a＝(－2,3)，b＝(1,2)， ∴λa＋b＝(－2λ＋1,3λ＋2)．
∵λa＋b与b垂直， ∴(λa＋b)·b＝0， ∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0， 5
即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－.]
4
3．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，则|a－b|＝( ) A.6 C．2
B.5 D.3
2
2
2
A [因为|a|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，所以|a－b|＝a＋b－2a·b＝1＋5－0＝6，所以|a－b|＝6.故选A.]
4.如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的→→
顶点D被阴影遮住，请设法计算AB·AD＝( )
A．10 C．12
B．11 D．13
→
B [以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，AB＝(4,1)，→→→→
AD＝BC＝(2,3)，∴AB·AD＝4×2＋1×3＝11，故选B.]
5．(2024·银川模拟)已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )
2??2??A.?－2，?∪?，＋∞? 3??3??1??C．(－∞，－2)∪?－2，?
2??C [不妨令i＝(1,0)，j＝(0,1)， 则a＝(1，－2)，b＝(1，λ)， 因为它们的夹角为锐角，
所以a·b＝1－2λ＞0且a，b不共线， 1
所以λ＜且λ≠－2，故选C.]
2
1
6．(2024·河北衡水模拟三)已知向量a＝(1，k)，b＝(2,4)，则“k＝－”是“|a＋
2
?1?B.?，＋∞? ?2?
1??D.?－∞，?
2??
b|2＝a2＋b2”的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件
2
2
2
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
22
C [由|a＋b|＝a＋b，得a＋2a·b＋b＝a＋b，得a·b＝0，得(1，k)·(2,4)＝0，11222
解得k＝－，所以“k＝－”是“|a＋b|＝a＋b”的充要条件．故选C.]
22
7．(2024·宝鸡模拟)在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC＝BC＝1，点P是斜边→→→→
上的一个三等分点，则CP·CB＋CP·CA＝( )
A．0 9C. 4
B．1 9D．－ 4
22→→
B [以点C的坐标原点，分别以CA，CB的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标→→→→→→?12?系(图略)，则C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，不妨设P?，?，所以CP·CB＋CP·CA＝CP·(CB＋
?33?→
CA)＝＋＝1.故选B.]
二、填空题
8．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角的正弦值为________．
322
[∵a·(a＋b)＝a＋a·b＝2＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3， 2
1323
1
∴cos〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，
2∴sin〈a，b〉＝1－cos〈a，b〉＝
2
3.] 2
9．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝3，则a在b方向上的投影等于________．
1
－ [∵|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝3， 2∴(a＋b)＝|a|＋|b|＋2a·b＝5＋2a·b＝3， ∴a·b＝－1，∴a在b方向上的投影为
2
2
2
a·b1
＝－.] |b|2
10．(2024·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝23，AD＝5，∠A＝30°，点E→→
在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD·AE＝________.
－1 [法一：∵∠BAD＝30°，AD∥BC，∴∠ABE＝30°，又EA＝EB，∴∠EAB＝30°，
在△EAB中，AB＝23，∴EA＝EB＝2.
以A为坐标原点，直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．
则A(0,0)，D(5,0)，E(1，3)，B(3，3)， →→
∴BD＝(2，－3)，AE＝(1，3)， →→
∴BD·AE＝(2，－3)·(1，3)＝－1. 法二：同法一，求出EB＝EA＝2， →→
以AB，AD为一组基底，
→→→→→→→2→则BD＝AD－AB，AE＝AB＋BE＝AB－AD，
5→→→→?→2→?∴BD·AE＝(AD－AB)·?AB－AD?
5??→→→22→→2→2
＝AD·AB－AB＋AB·AD－AD
55732
＝×5×23×－12－×25＝－1.] 525
1．(2024·石家庄二模)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋
b与a的夹角为( )
A.C.
π 62π 3
B.D.
π 35π 6
A [法一：由|a＋b|＝|a－b|知，a·b＝0，所以a⊥b.将|a－b|＝2|b|两边平方，得|a|－2a·b＋|b|＝4|b|，所以|a|＝3|b|，所以|a|＝3|b|，所以cos〈a＋b，a〉＝
22
a＋b·a|a|3|b|3π
＝＝＝，所以向量a＋b与a的夹角为，故选A.
|a＋b||a|2|b||a|2|b|·3|b|262
2
2
2
2
法二：∵|a＋b|＝|a－b|，∴a⊥b.
→
在四边形ABCO中，设|OC|＝|b|＝1，|a＋b|＝2|b|＝2， ∴|a|＝3，
∴〈a＋b，a〉＝∠BOA， π
∴在Rt△OBC中，∠BOA＝.]
6
1
2．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a＋c)·(2b－c)的
2最小值为( )
A．－2 C．－1
B．－3 D．0
1π
B [因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝，所以〈a，b〉＝.不妨设
23
a＝(1,0)，b＝?，
?1
?23?
θ，sin θ)，则(a＋c)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b·c?，c＝(cos
2?
3?1?2
－c＝1－cos θ＋2?cos θ＋sin θ?－1＝3sin θ，所以(a＋c)·(2b－c)的最小值
2?2?为－3，故选B.]
3．在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，a，b，c成等比数列，a＋c＝3，cos B＝3→→
，则AB·BC＝________. 4
3a＋c－b－ [由a，b，c成等比数列得ac＝b2，在△ABC中，由余弦定理可得cos B＝22ac＝
2
2
2
a＋c－3ac39－3ac，则＝，解得ac＝2，
2ac42ac2
3→→
则AB·BC＝accos(π－B)＝－accos B＝－.]
2
4．(2024·江苏高考)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在
AB→→→→
边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若AB·AC＝6AO·EC，则的值是________．
AC3 [法一：过D作DF∥EC，交AB于F. ∵D为BC的中点，∴F为BE的中点， 又BE＝2EA，∴EF＝EA， 又DF∥EO，∴AO＝1
2AD，
∴→AO＝1→11→→
2AD＝2×2(AB＋AC)．
∴→AO·→EC＝14(→AB＋→AC)·??→?AC－1→3AB???
＝1?4?→?
AC2＋2→→1→23AB·AC－3AB?
??.
∵→AB·→AC＝6→AO·→
EC，
∴→AB·→AC＝3→2AC2－1→2
AB2＋→AB·→AC，
∴→AB2＝3→AC2，∴|→AB|＝3|→
AC|，∴ABAC＝3.
法二：由于题目中对∠BAC没有限制，所以不妨设∠BAC＝90°，
AB＝c，AC＝b，建立如图所示的平面直角坐标系．
则E??cbc?0，3???，D???2，2???
，
易得lcxyAD：y＝bx，lEC：b＋c＝1，
3
?y＝cbx，联立得?x?b＋yc＝1，3
?解得?x＝b?4，
??y＝c4，则O??b，c?44???
. 由→AB·→AC＝6→AO·→EC得6??bc?4，4???·??c?
b，－3???＝0， ∴c2
＝3b2
，∴c＝3b，∴ABAC＝3.]
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