1 τSf(X)= COS X(X + ISinXIX 贝Q?r = 0处有(
20
? (A) /W = (B) ?厂(°)= 1 (C) /W =
设a(x) = -~~ , J3(x) = 3-3yfx9 则当rτl时(
1 + 兀 (A) α(x)90(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； 是等价无穷小；
(C) O(X)是比0(朗高阶的无穷小； 无穷小. 3?若
F(X) =
)
(D)八；)不可导.
)
(B) °(对与0⑴
2.
(D) 0(x)是比Q(X)高阶的
JO -/
(IZX)(Z)j
?其中/(\在区间上(TJ)二阶可导且 /'(x)>0,则().
(A) 函数F(X)必在X = O处取得极大值； (B) 函数F(X)必在x = °处取得极小值；
(C) 函数F(X)在X = O处没有极值，但点(O,F(O))为曲线y = F(x)的拐点； (D) 函数F(X)在2 °处没有极值，点◎ F(°))也不是曲线y=F(?)的拐点。
γ
设/O)是连续函数，Sf (X) = X+ 2^f(tyh ,则 f(x) = (
√ √ 2
(A) 2
(B) 2 (C) —I (D) x + 2.
填空题 (本大题有4小题，每小题4分，共16分)
Iim(I ÷3x)
SilI X
已知叱是八X)的一个原函数 X COSX J QX =
X
1
. ∕Γ Z ITt 2 2 兀 n
dx
2
7.
IIm-(COS — + cos ——H ------------- COS
π→∞ n n x2arcsinx + l
√l-√
8. 2 ______________________________________________ . 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9.设函数尸W)由方程+sin?)=1确定，求Ha)以及V(°).
X ≤ 0 0 < X ≤ 1
g(x) = ?f(xt)dt Iim = A 12?设函数八X)连续，
O
,且E X
,A为常数.求
F(X)并讨论Q(X)在X=°处的连续性. 13.求微分方程^y+ 2J = XlnX满足四、解答题(本大题10分)
14?已知上半平面内一曲线y = y(χ) (χn°),过点(°」)，且曲线上任一点 Mg,儿)处
切线斜率数值上等于此曲线与X轴、>?轴、直线\所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程?
五、解答题(本大题io分)
15. 过坐标原点作曲线y =Inx的切线，该切线与曲线y = Inx及X轴围
成平面图形D.
(1)求D的面积A； (2)求D绕直线X = e旋转一周所得旋转体的体积V. 六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)
16. 设函数八小在［°川上连续且单调递减，证明对任意的彳曰l ,
(U
r
y(I)
~ §的解.
证明：在(OM)内至少存在两个不同的点,使/^l) = ∕(^) = θ?(提
X
F(x)=if(x)dx 示：设
0
)
一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1. D 2> A 3. C 4、C
二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5.
e
? 6? 2 X ?7? 2 . 8. 3
三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)
9. 解：方程两边求导
h(χ) = ∕ +VCOSg)
原式=才語严 Td-占m
=-(In I a I —2 In I w +11 ) + C
77
= IlnlX∣-^ln∣l + x∣+c 7 7
f(X)dx □解：L=LX^XdX +∫01 ^X-XldX =Jl (YX)+J。Ji - (X-
X 1)'\=I-Xe-
x2-e~ ]： + f ： cos θdθ(令X -I =
SiII Θ)
12.解：由 知g(O) = O°
∫∕(M)JW ? Xt=U 0
X O (x≠0)
Λ∕(X)-J/(?>/?
g'(x)=≈ U≠θ)
g(x) = j f(xt)dt =
g,(0) = IiIn- -- ——=IiIn /(X) = A
“ X 5 2x 「一 1
2
∫/(W)JM
X
Xf(X)-jf(u)du
tIim ------ ? ------ = A-- S(X) = IiIn
Λ→0 X→<) XZ 2
(Iy 2
—+ — J = Inx 13.解：〃X L ^{-dx f [LdX y =e ix (JeJX 111XdX + C)
A
^2 , &3）在兀=0处连续。
J（I）=cJ=lnχ
四、解答题（本大题10分）
14. ?：由已知且\将此方程关于X求导得 2h = 2y + “ 特征方程：r-r-2 = 0 解出特
征根: 其通解为 J=^-V+C2e2'
-√=°,r-√
r
1 = —1，「2=2
大一高数期末考试题(精)
