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大一高数期末考试题(精)

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1 τSf(X)= COS X(X + ISinXIX 贝Q?r = 0处有(

20

? (A) /W = (B) ?厂(°)= 1 (C) /W =

设a(x) = -~~ , J3(x) = 3-3yfx9 则当rτl时(

1 + 兀 (A) α(x)90(x)是同阶无穷小,但不是等价无穷小; 是等价无穷小;

(C) O(X)是比0(朗高阶的无穷小; 无穷小. 3?若

F(X) =

)

(D)八;)不可导.

)

(B) °(对与0⑴

2.

(D) 0(x)是比Q(X)高阶的

JO -/

(IZX)(Z)j

?其中/(\在区间上(TJ)二阶可导且 /'(x)>0,则().

(A) 函数F(X)必在X = O处取得极大值; (B) 函数F(X)必在x = °处取得极小值;

(C) 函数F(X)在X = O处没有极值,但点(O,F(O))为曲线y = F(x)的拐点; (D) 函数F(X)在2 °处没有极值,点◎ F(°))也不是曲线y=F(?)的拐点。

γ

设/O)是连续函数,Sf (X) = X+ 2^f(tyh ,则 f(x) = (

√ √ 2

(A) 2

(B) 2 (C) —I (D) x + 2.

填空题 (本大题有4小题,每小题4分,共16分)

Iim(I ÷3x)

SilI X

已知叱是八X)的一个原函数 X COSX J QX =

X

1

. ∕Γ Z ITt 2 2 兀 n

dx

2

7.

IIm-(COS — + cos ——H ------------- COS

π→∞ n n x2arcsinx + l

√l-√

8. 2 ______________________________________________ . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9.设函数尸W)由方程+sin?)=1确定,求Ha)以及V(°).

X ≤ 0 0 < X ≤ 1

g(x) = ?f(xt)dt Iim = A 12?设函数八X)连续,

O

,且E X

,A为常数.求

F(X)并讨论Q(X)在X=°处的连续性. 13.求微分方程^y+ 2J = XlnX满足四、解答题(本大题10分)

14?已知上半平面内一曲线y = y(χ) (χn°),过点(°」),且曲线上任一点 Mg,儿)处

切线斜率数值上等于此曲线与X轴、>?轴、直线\所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程?

五、解答题(本大题io分)

15. 过坐标原点作曲线y =Inx的切线,该切线与曲线y = Inx及X轴围

成平面图形D.

(1)求D的面积A; (2)求D绕直线X = e旋转一周所得旋转体的体积V. 六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)

16. 设函数八小在[°川上连续且单调递减,证明对任意的彳曰l ,

(U

r

y(I)

~ §的解.

证明:在(OM)内至少存在两个不同的点,使/^l) = ∕(^) = θ?(提

X

F(x)=if(x)dx 示:设

0

)

一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 1. D 2> A 3. C 4、C

二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5.

e

? 6? 2 X ?7? 2 . 8. 3

三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)

9. 解:方程两边求导

h(χ) = ∕ +VCOSg)

原式=才語严 Td-占m

=-(In I a I —2 In I w +11 ) + C

77

= IlnlX∣-^ln∣l + x∣+c 7 7

f(X)dx □解:L=LX^XdX +∫01 ^X-XldX =Jl (YX)+J。Ji - (X-

X 1)'\=I-Xe-

x2-e~ ]: + f : cos θdθ(令X -I =

SiII Θ)

12.解:由 知g(O) = O°

∫∕(M)JW ? Xt=U 0

X O (x≠0)

Λ∕(X)-J/(?>/?

g'(x)=≈ U≠θ)

g(x) = j f(xt)dt =

g,(0) = IiIn- -- ——=IiIn /(X) = A

“ X 5 2x 「一 1

2

∫/(W)JM

X

Xf(X)-jf(u)du

tIim ------ ? ------ = A-- S(X) = IiIn

Λ→0 X→<) XZ 2

(Iy 2

—+ — J = Inx 13.解:〃X L ^{-dx f [LdX y =e ix (JeJX 111XdX + C)

A

^2 , &3)在兀=0处连续。

J(I)=cJ=lnχ

四、解答题(本大题10分)

14. ?:由已知且\将此方程关于X求导得 2h = 2y + “ 特征方程:r-r-2 = 0 解出特

征根: 其通解为 J=^-V+C2e2'

-√=°,r-√

r

1 = —1,「2=2

大一高数期末考试题(精)

1τSf(X)=COSX(X+ISinXIX贝Q?r=0处有(20?(A)/W=(B)?厂(°)=1(C)/W=设a(x)=-~~,J3(x)=3-3yfx9则当rτl时(1+兀(A)α(x)90(x)是同阶无穷小,但不是等价无穷小;是等价无穷小;(C)
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