2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案
一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分，不选或选
错一律得0分 1?i?（1）???的值等于 （ B ）
?1?i?2（A）1 （B）-1 （C）i (D)-i
（2）设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L的方程为x+y-3=0,点P的坐标为（2，1），那么 （ C ） （A）点P在直线L上，但不在圆M上 （B）点P在圆M上，但不在直线L上 （C）点P既在圆M上，又在直线L上 （D）点P既不在直线L上，也不在圆M上 （3）集合{1，2，3}的子集共有 （ D ） （A）5个 （B）6个 （C）7个 （D）8个
（4）函数y?ax(0?a?1)的图象是 （ B ）
（A） （B） （C） （D） Y Y Y Y 1 1 X X X X
O 1 O 1 O 1 O 1
x2y2（5）已知椭圆方程??1，那么它的焦距是 （ A ）
2011（A）6 （B）3 （C）231 （D）31
（6）在复平面内，与复数z=-1-i的共轭复数对应的点位于（ B ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （7）在(x?3)10的展开式中，x6的系数是 （ D ）
6464（A）?27C10 （B）27C10 （C）?9C10 （D）9C10
（8）函数y?3cos(x?)的最小正周期是 （ D ）
562?（A）? （B）? （C）2? （D）5?
2255（9）sin(?1219?)的值等于 （ A ） 61233 （D）? 22（A） （B）? （C）
（10）直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合）的充要条件是 （A）a?12 （B）a?? （C）a?1 （D）a??1 （ C ）
x?22x?1(x?R,且x?1212)的反函数是 （ A ）
12（11）函数y?（A）y?（C）y?x?22x?1(x?R,且x?) （B）y?2x?1(x?R,且x?2) x?22x?1x?21(x?R,且x?) （D）y?(x?R,且x??2) 2x?12x?2（12）如图，正四棱台中，A?D?所在的直线与BB?所在的直线是 （A）相交直线 （ C ） （B）平行直线
（C）不互相垂直的异面直线 （D）互相垂直的异面直线
D? C?
A? D B ? C A B
（13）函数y?sin(x?)在闭区间 （ B ）
3??,]上是增函数 44?3?（C）[??,0]上是增函数 （D）[?,]上是增函数
44?4（A）[?,]上是增函数 （B）[???22（14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ A ）
23223C197?C3（A）C33C197种 （B）C3C197种 5514（C）C5200?C197种 （D）C200?C3C197种
（15）已知二面角??AB??的平面角是锐角?，?内一点C到?的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tg?的值等于 （ C ） （A） （B） （C）
3435317 （D）7 73二．（本题满分20分）本题共5小题，每1个小题满分4分只要求直接写出结果
（1）求复数3?i的模和辐角的主值 [答]2;
11?（只答对一个值的给2分） 6（2）解方程9?x?2?31?x?27.
[答]x=-2（直接答-2也算对） （3）已知sin???,3????[答]-3
（4）一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm和4cm，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积 357??,求tg的值 22[答]
48?cm3（未写单位，只给3分） 53n2?2nlim2. （5）求n??n?3n?1
[答]3
三．（本题满分10分）
证明cos3??4cos3??3cos? 证明：略 四．（本题满分10分）
S
如图，四棱锥S-ABCD的底面是边 α
长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，
B A
并且SB=3，用?表示∠ASD，求nis?的
C D
值 解：因为SB垂直于底面ABCD，所以斜线段SA在底面上的射影为AB，由于DA⊥AB
所以 DA⊥SA 从而sin??AD1?. SDSD连结BD，易知BD=2由于SB⊥BD，所以
SD?SB2?BD2?(3)2?(2)2?5
因此，sin??15?15. 5五．（本题满分11分）
在双曲线x2-y2=1的右支上求点P（a,b），使该点到直线y=x的距离为2 解：由题意，点P（a,b）是下述方程组的解：
?a2?b2?1,??|a?b|?2,??2(1)a2?1?b2,因为a>0， 并且a>0.由（1）式得(2)所以a?1?b2?b2?|b|，从而a>b，于是由（2）式得
a-b=2 （3）把（3）式代入得(b?2)2?b2?1, 解得b??,代入(3)得a?. ∴所求的点P的坐标为(,?).
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