线性代数知识点总结汇总

由天下分享时间：2025/1/15 16:22:10 加入收藏我要投稿点赞

线性代数知识点总结

1 行列式

（一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数

2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号

（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式

（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0。（二）重要行列式

4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积

5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式

数学归纳法证明

★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：

（三）按行（列）展开 9、按行展开定理：

（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式：（1）|kA|=kn|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|AT|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1

（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则

（7）若A与B相似，则|A|=|B|

（五）克莱姆法则 11、克莱姆法则：

（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解

（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。

2 矩阵

（一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项：

（1）矩阵乘法要求前列后行一致；

（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条）（1）（A+B）T=AT+BT （2）（kA）T=kAT （3）（AB）T=BTAT （4）|A|T=|A| （5）（AT）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义：

AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条）（1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（AT）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A

5、逆的求法：

（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解

（2）A为数字矩阵：（A|E）→初等行变换→（E|A-1）（三）矩阵的初等变换 6、初等行（列）变换定义：（1）两行（列）互换；（2）一行（列）乘非零常数c

（3）一行（列）乘k加到另一行（列）

7、初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。 8、初等变换与初等矩阵的性质：

（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eij（i，j两行互换）；

Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c） Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j） ★（四）矩阵的秩

9、秩的定义：非零子式的最高阶数

注：（1）r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O （2）r（An×n）=n（满秩）←→ |A|≠0 ←→A可逆；

r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；

（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。 10、秩的性质：（7条）