第五章 向量代数与空间解析几何
5.1向量
既有大小又有方向的量
表示：AB或a （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作|AB|、|a|、|a| 1． 方向余弦：(cos?,cos?,cos?)????????xyz?222 r＝（x，y，z）,| r |= x?y?z,,???|r||r||r|?2． 单位向量 a?(cos?,cos?,cos?) 模为1的向量。 3． 模
|a|?x?y?z?a?a
???222??4． 向量加法（减法） a?b?(x1?x2,y1?y2,z1?z2) 5． a·b＝| a |·| b |cos??x1x2?y1y2?z1z2
a⊥b?a·b＝0（a·b＝b·a） 6． 叉积、外积
i
|a?b| =| a || b |sin?= axjaybykaz bzx1y1z1?? x2y2z2bxa//b?a?b＝0.( a?b= - b?a) ???7． 数乘：ka?ka?(kx,ky,kz)
???例1 |a|?2,|b|?1，a与b夹角为，求|a?b|。
3????解 |a?b|?
???(a?b)?(a?b)?a?a?2a?b?b?b?|a|?2|a||b|cos??|b|2
???????????2???22?2?2?1?cos?3?1?7
例2 设(a?b)?c?2，求[(a?b)?(b?c)]?(c?a)。
解 根据向量的运算法则
[(a?b)?(b?c)]?(c?a)
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?[(a?b)?b?(a?b)?c]?(c?a)
?[(a?b)?b]?(c?a)?[(a?b)?c]?(c?a) ?(a?b)?(c?a)?[(a?b)?c]?a ?(a?b)?c?(a?c)?a?(b?c)?a ?(a?b)?c?(a?b)?c ?2(a?b)?c?4
例3 设向量a?i?j?k，b?3i?4j?5k，x?a??b，?为实数，试证：当模x
最小时，向量x必须垂直于向量b。
解 由a?i?j?k，b?3i?4j?5k得|a|?3,|b|?50，a?b?12，于是
22|x|2?(a??b)2?|a|2??2|b|2?2?a?b
6?3? ?3?24??50??50?????25?25?22由此可知，当???615?6?7b??,?,?? 时，模|x|最小，因而x?a?2525?252525?故
15??7x?b??,?,???(3,?4,5)?0
?252525?所以，当模x最小时，向量x必须垂直于向量b。
8． 向量的投影
Prjab＝|b|cos?为向量b在向量a上的投影。a·b＝| a |Prjab
5.2空间平面与直线 5.2.1 空间平面
点法式方程：与定点p0(x0,y0,z0)连线和非零向量n＝（a，b，c）垂直的点的集合。
a(x?x0)?b(y?y0)?c(z?z0)?0。
平面的一般方程：Ax?By?Cz?D?0，n＝（A，B，C）
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截距式方程：
xyz???1 abcx?x1y?y1y2?y1y3?y1z?z1z2?z1?0 z3?z1三点式方程 x2?x1x3?x1例1 求过O(0,0,0)，A(1,3,2)，B(2,?1,?1)点的平面方程
解（1）点法式
ijkn＝OA?OB?132?(?1,5,?7)。
2?1?1???????则平面方程为?(x?0)?5(y?0)?7(z?0)?0，即x?5y?7z?0。 解（2）设平面方程为Ax?By?Cz?D?0，代入O(0,0,0)得D?0。
代入A(1,3,2)，B(2,?1,?1)得??A?3B?2C?0解之得B??5A,C?7A
2A?B?C?0?代入方程消去A，得方程为x?5y?7z?0
例2 一平面通过点(1,2,3)，它在正x轴，正y轴上的截距相等，问此平面在三坐标面
上截距为何值时，它与三个坐标平面围成的四面体的体积最小？并写出此平面方程。 有
解 依题意设所求平面的截距式方程为
xyz???1，由于点(1,2,3)在此平面上，故aac1233a。 ???1，解之c?aaca?313a2(a?3)?a313a1a3??四面体之体积V?a?a?，V??， 22(a?3)6a?32a?3
令V??0得a?9,c?9。 2例3 求过点A(1,1,?1)，B(?2,?2,2)和C(1,?1,2)三点的平面方程。
x?1y?1z?1
解 由三点式方程?3?3?23?0 30故所求方程为?3(x?1)?9(y?1)?6(z?1)?0，即x?3y?2z?0
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5.2.2 空间直线
方向向量：平行于一已知直线的任一向量称为直线的方向向量。易知直线上的任一向量都平行于直线的方向向量.
若设已知向量为v?(l,m,n)，则直线的对称式方程为
?x?x0y?y0z?z0 ??lmn一般式方程：??A1x?B1y?C1z?D1?0
?A2x?B2y?C2z?D2?0?x?x0?mt,?参数式方程：?y?y0?nt,
?z?z?pt.0?例1 求过点(1,1,2)点，且与直线??y?3x?1平行的直线方程
?z?2x?5?x?x??解 将直线写成?y?3x?1，以x为参数，则v?(1,3,2)，故直线方程为
?z?2x?5?
x?1y?1z?2 ??132例2 求过点p0(?1,2,?3)且平行于平面?:6x?2y?3z?1?0，又与直线
x?1y?1z?3相交的直线方程。 ??32?5解 设Q(x,y,z)为两直线的交点，则P0Q//?,P0Q?n?0,即
?????6(x?1)?2(y?2)?3(z?3)?0，
又Q在L上：
（1） （2）
x?1y?1z?3 ??32?5
令（2）=t 解得x, y, z代入(1)解得t?0，在反代入（2）得Q的坐标为(1,?1,3)，得直线为
x?1y?2z?3 ??2?365.3点、平面、直线的位置关系
1． 点到平面的距离
点P0(x0,y0z0)到平面Ax+By+Cz+D=0得距离公式为：
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d =
|Ax0?By0?Cz0?D|A?B?C222
例1 求平面x?2y?2z?6?0和平面4x?y?8z?8?0的交角平分面方程。
平分面上的点到两面之间距离相等，故
|x?2y?2z?6|1?2?222?|4x?y?8z?8|4?1?8222
整理得：x?7y?14x?26?0或7x?5y?2z?10?0
例2 求平行于平面x?y?z?9且与球面x?y?z?4相切的平面方程。 解 由于所求平面与x?y?z?9平行，故可设其为?:x?y?z?D?0。 因为?与球面x?y?z?4相切，所以球心(0,0,0)到?的距离
222222|0?0?0?D|1?1?1
222?2，解之，D??23，故所求平面方程为 x?y?z?23?0和x?y?z?23?0
2． 点到直线的距离
点M1到直线L的距离为 d?例3 求点M0(3,?4,4)到直线解 M0M?(1,9,?2)，|s|???|M0M1?s|
|s|
x?4y?5z?2的距离。 ??2?2122?(?2)2?12?3，于是所求距离
d?
|M0M?s||5i?5j?20k|51?1?16???52
|s|333. 两平面之间的夹角
平面?1和平面?2的夹角?,cos?＝
|A1A2?B1B2?C1C2|A?B?C212121A?B?C222222
?1、?2互相垂直相当于A1A2?B1B2?C1C2＝0；
?1、?2互相平行或重合相当于
A1B1C1??. A2B2C24．两直线的夹角
两直线的法线向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角.
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高等数学-向量代数与空间解析几何复习
