全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分）
y(x?y)ln(1?)xdxdy?____________，其中区域D由直线x?y?1与两坐标轴所围1．计算??D1?x?y成三角形区域.
2．设f(x)是连续函数，且满足f(x)?3x2??f(x)dx?2，则f(x)?____________.
02x23．曲面z??y2?2平行平面2x?2y?z?0的切平面方程是__________.
24．设函数y?y(x)由方程xef(y)?eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f??1，则
d2y
?________________. dx2
eex?e2x???enxx)，其中n是给定的正整数. 二、（5分）求极限lim(x?0n1f(x)三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)??f(xt)dt，且lim?A，A为常数，求g?(x)并
0x?0x讨论g?(x)在x?0处的连续性.
四、（15分）已知平面区域D?{(x,y)|0?x??,0?y??}，L为D的正向边界，试证：
（1）
siny?sinx?sinysinxxedy?yedx?xedy?yedx； ??LL（2）xeL?siny5dy?ye?sinydx??2.
2x2x五、（10分）已知y1?xe?e2，y2?xe?ex?x，y3?xe?ex2x?e?x是某二阶常系数线
性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
六、（10分）设抛物线y?ax?bx?2lnc过原点.当0?与x轴及直线x?1所围图形的面积为的体积V最小.
x?1时，y?0，又已知该抛物线
1.试确定a,b,c，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体3，且un(1)??(x)?un(x)?xn?1exn?1,2,七、（15分）已知un(x)满足une，求函数项级数n?un?1?n(x)之和.
?八、（10分）求x?1时，与
?xn等价的无穷大量.
n?0?22010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、（25分，每小题5分） （1）设xn?(1?a)(1?a2)(1?a2)，其中|a|?1,求limxn.
n??n（2）求limex???x?1??1??. ?x???e?sxxndx(n?1,2,).
022x2（3）设s?0，求In??2g?2g?1?（4）设函数f(t)有二阶连续导数，r?x?y,g(x,y)?f??，求?2. 2r?x?y??（5）求直线l1:??x?y?0x?2y?1z?3与直线l2:的距离. ??4?2?1?z?0x???二、（15分）设函数f(x)在(??,??)上具有二阶导数，并且f??(x)?0，limf?(x)???0，
x???limf?(x)???0，且存在一点x0，使得f(x0)?0.证明：方程f(x)?0在(??,??)恰有两个实
根.
?x?2t?t2d2y3(t??1)所确定，且2?三、（15分）设函数y?f(x)由参数方程?，
dx4(1?t)y??(t)?其中?(t)具有二阶导数，曲线y??(t)与y??e?udu?1t223在t?1出相切，求函数?(t). 2e四、（15分）设an?0,Sn????ak?1nk，证明：
（1）当??1时，级数?an收敛； ?Sn?1nan发散. ?n?1Sn222（2）当??1且sn??(n??)时，级数???五、（15分）设l是过原点、方向为(?,?,?)，（其中??????1)的直线，均匀椭球
x2y2z2?2?2?1（其中0?c?b?a，密度为1）绕l旋转. 2abc（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向(?,?,?)的最大值和最小值.
六、(15分)设函数?(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分
2xydx??(x)dy?Lx4?y2?0的值为常数.
（1）设L为正向闭曲线(x?2)?y?1，证明
222xydx??(x)dy?Lx4?y2?0；
（2）求函数?(x)；
（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求
2xydx??(x)dy?Cx4?y2.
2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）
?sinx?1?cosx（1）求lim?； ?x?0?x?（2）.求lim?111??1??...??； n??n?1n?2n?n??2t?d2y?x?ln?1?e?（3）已知?，求2.
tdx??y?t?arctane二、（本题10分）求方程?2x?y?4?dx??x?y?1?dy?0的通解.
三、（本题15分）设函数f(x)在x?0的某邻域内具有二阶连续导数，且f?0?,f??0?,f???0?均不为0，证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得
limk1f?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0??0.
h?0h2x2y2z2四、（本题17分）设?1:2?2?2?1，其中a?b?c?0，?2:z2?x2?y2，?为?1与?2的
abc交线，求椭球面?1在?上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.
?x2?3y2?1五、（本题16分）已知S是空间曲线?绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（z?0）
z?0?（取上侧），?是S在P(x,y,z)点处的切平面，?(x,y,z)是原点到切平面?的距离，?,?,?表示S的正法向的方向余弦.计算： （1）??SzdS；（2）??z??x?3?y??z?dS
??x,y,z?S六、（本题12分）设f(x)是在(??,??)内的可微函数，且f?(x)?mf(x)，其中0?m?1，任
?取实数a0，定义an?lnf(an?1),n?1,2,...，证明：?(an?an?1)绝对收敛.
n?1七、（本题15分）是否存在区间?0,2?上的连续可微函数f(x)，满足f(0)?f(2)?1，f?(x)?1，
?20f(x)dx?1?请说明理由.
2012年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）. （1）求极限lim(n!).
n??1n2?2x?y?3z?2?0（2）求通过直线l:?的两个互相垂直的平面?1和?2，使其中一个平面过点
5x?5y?4z?3?0?(4,?3,1).
（3）已知函数z?u(x,y)eax?by?2u?0.确定常数a和b，使函数z?z(x,y)满足方程，且
?x?y?2z?z?z???z?0. ?x?y?x?y3（4）设函数u?u(x)连续可微，u(2)?1，且?(x?2yu)dx?(xu?)udyL在右半平面与路径无关，
求u(x,y). （5）求极限lim3x???x?x?1xsintdt.
t?cost??0二、（本题10分）计算?e?2xsinxdx.
三、（本题10分）求方程x2sin1?2x?501的近似解，精确到0.001. xx3f(u)四、（本题12分）设函数y?f(x)二阶可导，且f??(x)?0，f(0)?0，f?(0)?0，求lim，
x?0f(x)sin3u其中u是曲线y?f(x)上点P(x,f(x))处的切线在x轴上的截距. 五、（本题12分）求最小实数C，使得满足?10f(x)dx?1的连续函数f(x)都有?f(x)dx?C.
01六、（本题12分）设f(x)为连续函数，t?0.区域?是由抛物面z?x2?y2和球面
x2?y2?z2?t2(z?0)所围起来的部分.定义三重积分F(t)????f(x2?y2?z2)dv，
?求F(t)的导数F??(t).
七、（本题14分）设?an与?bn为正项级数，证明：
n?1n?1?an1?（1）若lim???0，则级数?an收敛；
n??abbn?1n?1nn?1??an1?（2）若lim???0，且级数?bn发散，则级数?an发散.
n??abbn?1n?1n?1nn?1??2013年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、解答下列各题（每小题6分，共24分，要求写出重要步骤）
1.求极限lim1?sin?1?4nn???2?.
n2.证明广义积分???0sinxdx不是绝对收敛的. x3.设函数y?y(x)由x3?3x2y?2y3?2确定，求y(x)的极值.
4.过曲线y?3x(x?0)上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为求点A的坐标.
二、（满分12分）计算定积分I??三、（满分12分）设收敛.
四、（满分12分）设f(x)??,f?(x)?m?0(a?x?b)，证明五、（满分14分）设
?3，4???xsinx?arctanexdx.
1?cos2x?f?x??1?级数?f??0?.证明：
x?n?n?1且milf?x?在x?0处存在二阶导数f??(0)，
x?0?basinf(x)dx?2. m?是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分
I????x3?x?dydz??2y3?y?dzdx??3z3?z?dxdy.试确定曲面?，使积分I的值最小，并求该
最小值.
六、（满分14分）设Ia(r)??正向.求极限
r???ydx?xdy，其中a为常数，曲线C为椭圆x2?xy?y2?r2，取22aC(x?y)limIa(r).
?111???2n的敛散性，若收敛，求其和. 七、（满分14分）判断级数?n?1?n?1??n?2?2014年第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、填空题（共有5小题，每题6分，共30分）
1.已知y1?ex和y1?xex是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是.
2.设有曲面S:z?x2?2y2和平面L:2x?2y?z?0.则与L平行的S的切平面方程是. 3.设函数y?y(x)由方程x??4.设xn??ny?x1dy??t?sin2??dt所确定.求
dx?4??.
x?0k，则limxn?.
n??(k?1)!k?11xf(x)f(x)??3lim?. 5.已知lim?1?x?，则?e?x?0x?0x2x??二、（本题12分）设n为正整数，计算I???2n?e1d?1?cos?ln?dx. dx?x?
历届全国大学生数学竞赛预赛试题
