几何模型压轴题达标检测卷（Word版 含解析）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB?3,AD?4,AE?BD，垂足是E.点F是点
E关于AB的对称点，连接AF、BF．
（1）求AF和BE的长；
（2）若将ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度)．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值． （3）如图②，将ABF绕点B顺时针旋转一个角a(0??a?180?)，记旋转中ABF为
A'BF'，在旋转过程中，设A'F'所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的
长；若不存在，请说明理由．
129916,BF?；（2）m?或m?；（3）存在4组符合条件的点
555525910?5或或P、点Q，使DPQ为等腰三角形； DQ的长度分别为2或
5835?10． 5【解析】 【分析】
（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
【答案】（1）AF?（2）依题意画出图形，如图①-1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；
（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可． 【详解】
（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，AB=3，AD=4， 由勾股定理得：BD=∵S△ABD?AB2?AD2?32?42?5，
11BD?AE=AB?AD， 22
∴AE=
AB?AD3?412??， BD5512，BF=BE， 5∵点F是点E关于AB的对称点， ∴AF=AE?∵AE⊥BD， ∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，AB=3，AE?12， 529?12?由勾股定理得：BE?AB2?AE2?32????； 5?5?（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①-1所示：
由对称点性质可知，∠1=∠2．BF=BE?9， 59， 5由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′?①当点F′落在AB上时， ∵AB∥A′B′， ∴∠3=∠4，
根据平移的性质知：∠1=∠4， ∴∠3=∠2， ∴BB′=B′F′?99，即m?； 55②当点F′落在AD上时， ∵AB∥A′B′，AB⊥AD， ∴∠6=∠2，A′B′⊥AD， ∵∠1=∠2，∠5=∠1， ∴∠5=∠6， 又知A′B′⊥AD， ∴△B′F′D为等腰三角形，
∴B′D=B′F′?9， 5∴BB′=BD-B′D=5-
16916?，即m?； 555（3）存在．理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°， ∵AE⊥BD， ∴∠AEB=90°，
∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°， ∴∠2=∠BAE，
∵点F是点E关于AB的对称点， ∴∠1=∠BAE， ∴∠1=∠2，
在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形： ①如图③-1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，
则∠Q=∠DPQ，
∴∠2=∠Q+∠DPQ=2∠Q， ∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2， ∴∠3=∠Q， ∴A′Q=A′B=3， ∴F′Q=F′A′+A′Q=
1227?3?， 552222910?9??27?在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=BF??F?Q?????， ??5?5??5?
∴DQ=BQ-BD=
910?5； 5②如图③-2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，
则∠2=∠P， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠P， ∴BA′∥PD，
则此时点A′落在BC边上． ∵∠3=∠2， ∴∠3=∠1， ∴BQ=A′Q， ∴F′Q=F′A′-A′Q=
12-BQ， 52在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，
?9??12?即：?????BQ??BQ2， ?5??5?解得：BQ?215， 81525?； 88∴DQ= BD-BQ=5-
③如图③-3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，
则∠3=∠4．
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，
∴∠4=90°-
1∠2． 21∠1， 2∵∠1=∠2， ∴∠4=90°-
∴∠A′QB=∠4=90°-
1∠1， 2∴∠A′QB=∠A′BQ， ∴A′Q=A′B=3， ∴F′Q=A′Q-A′F′=3-
123?， 552222310?9??3?在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=BF??F?Q???????， 5?5??5?∴DQ=BQ-BD=5?310； 5④如图④-4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，
则∠2=∠3．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3， ∴∠1=∠4， ∴BQ=BA′=3， ∴DQ=BD-BQ=5-3=2．
综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形，DQ的长度分别为：
259310?5或5?10． 或558【点睛】 2或
本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点；第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论．
几何模型压轴题达标检测卷(Word版 含解析)
