人教版高中数学选修2-3
§2.4 正态分布
一、选择题
1．设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为φ(x)＝A．μ＝2，σ＝3 C．μ＝2，σ＝3
B．μ＝3，σ＝2 D．μ＝3，σ＝3
1e6π
?x2?4x?46，则( )
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)等于( ) A．0.477 C．0.954
B．0.628 D．0.977
1
3．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，)，则该随机变量的
2方差等于( ) A．10 2C. π
B．100 D.2 π
4．设随机变量X～N(μ，σ2)，且X落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等，若P(X>2)＝p，则P(0 B．1－p 1D.－p 2 5．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？( ) A．(90,110] C．(100,120] B．(95,125] D．(105,115] 6．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( ) A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2 7．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) A．2386 B．2718 1 人教版高中数学选修2-3 C．3413 二、填空题 8．已知随机变量x～N(2，σ2)，如图所示，若P(x D．4772 9．已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X≤1)＝0.5，则实数a的值为________． 10．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为________． 11．已知某正态分布的概率密度函数为f(x)＝1e2π?(x?1)22，x∈(－∞，＋∞)，则函数f(x)的极 值点为________，X落在区间(2,3]内的概率为__________． 三、解答题 12．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2. ①利用该正态分布，求P(187.8 ②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)． 附：150≈12.2. 2 人教版高中数学选修2-3 若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ 13．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0. (1)求p0的值； (2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？ 3 人教版高中数学选修2-3 [答案]精析 1．C 2.C 3.C 4.D 5．C [∵X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5. 因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974. 由于一共有60人参加考试， 故成绩位于上述三个区间的人数分别是 60×0.6826≈41(人)，60×0.9544≈57(人)， 60×0.9974≈60(人)．] 6．C 7.C 8.0.36 9.1 10.683 11．x＝1 0.1359 [解析] 由正态分布的概率密度函数知μ＝1，σ＝1，所以总体分布密度曲线关于直线x＝1对称，且在x＝1处取得最大值．根据正态分布密度曲线的特点可知x＝1为f(x)的极大值点．由11 X～N(1,1)知P(2 221 1 2 12．解 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为 x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200， s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150. (2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8 13．解 (1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)， 故有μ＝800，σ＝50，P(700＜X≤900)＝0.9544. 由正态分布的对称性，可得 4 人教版高中数学选修2-3 p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800＜X≤900) 11 ＝＋P(700＜X≤900)＝0.9772. 22 (2)设A型，B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1600x＋2400y. 依题意，x，y还需满足：x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p0. 由(1)知，p0＝P(X≤900)， 故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900. ??y≤x＋7， 于是问题等价于求满足约束条件?36x＋60y≥900， ??x，y≥0，x，y∈N， x＋y≤21， 且使目标函数z＝1600x＋2400y达到最小的x，y. 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)． 由图可知，当直线z＝1600x＋2400y经过可行域的点P时，直线z＝1600x＋2400y在y轴上z 截距最小，即z取得最小值． 2400故应配备A型车5辆、B型车12辆． 5
高中数学选修2-3课时作业10：§2.4 正态分布
