1.1.2 瞬时变化率——导数
1．结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义．(重点、难点)
2．会求简单函数在某点处的导数及切线方程．(重点) 3．理解导数与平均变化率的区别与联系．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 曲线上一点处的切线
阅读教材P8～P9“例1”以上部分，完成下列问题．
设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．
判断正误：
(1)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (2)过曲线外一点作已知曲线的切线有且只有一条．( ) 【答案】 (1)× (2)×
教材整理2 瞬时速度与瞬时加速度 阅读教材P11～P12，完成下列问题．
(1)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S?t0＋Δt?－S?t0?
无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速
Δt度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
(2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率
1
v?t0＋Δt?－v?t0?
无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加
Δt速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．
1．判断正误：
(1)自变量的改变量Δx是一个较小的量，Δx可正可负但不能为零．( ) (2)瞬时速度是刻画某物体在某一时间段内速度变化的快慢．( ) 【答案】 (1)√ (2)×
2．如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为________．
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Δs3?3＋Δt?－3×3
【解析】 Δt＝＝18＋3Δt，
Δt
Δs
当Δt→0时，Δt＝18＋3×0＝18. ∴质点A在t＝3时的瞬时速度为18. 【答案】 18 教材整理3 导数
阅读教材P13～P14，完成下列问题． 1．函数在一点处的导数及其几何意义 (1)导数
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，Δyf?x0＋Δx?－f?x0?比值Δx＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称
Δx该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
(2)导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率． 2．导函数
若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
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1．判断正误：
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( )
(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点x＝x0处切线的斜率．( )
(3)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．( ) (4)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在．( ) 【解析】 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．已知f(x)＝2x＋5，则f(x)在x＝2处的导数为________． 【解析】 Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)＋5－(2×2＋5)＝2Δx， Δy
∴Δx＝2，∴f′(2)＝2. 【答案】 2
3．函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，若P点的横坐标为4，则f(4)＋f′(4)＝________.
【解析】 由导数的几何意义，f′(4)＝－2. 又f(4)＝－2×4＋9＝1. 故f(4)＋f′(4)＝1－2＝－1. 【答案】 －1
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问2：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问3：_______________________________________________
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瞬时变化率——导数
