πθ－?. 所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cos??3?
(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，3)，可设圆C上任意一点P(1＋2cos α，3＋2sin α)，
又令M(x，y)，由Q(5，－3)，M是线段PQ的中点，
?
得点M的轨迹的参数方程为?2sin α
y＝?2
??x＝3＋cos α，
即?(α为参数)， ?y＝sin α?
6＋2cos α
x＝，2
(α为参数)，
∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.
?x＝2cos φ，?
8．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为?(φ为参数)，以原点O
?y＝sin φ?
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射ππ
2，?. 线θ＝与曲线C2交于点D??3?3
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
π11
ρ2，θ0＋?，若A，B都在曲线C1上，求2＋2的(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B?2??ρ1ρ2
值．
??x＝2cos φ，
解：(1)∵C1的参数方程为?
?y＝sin φ，?
x22
∴C1的普通方程为＋y＝1.
4
由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acos θ(a为半径)， π12，? 代入，得2＝2a×， 将D??3?2
∴a＝2，∴圆C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.
ρ2cos2θ(2)曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1，
4即ρ2＝
4
. 4sinθ＋cos2θ
24
∴ρ2， 21＝4sinθ0＋cos2θ0
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ρ22＝
4
ππθ0＋?＋cos2?θ0＋?4sin?2?2???
22 ＝
4
. sinθ0＋4cos2θ0
2222
114sinθ0＋cosθ04cosθ0＋sinθ05∴2＋2＝＋＝. ρ1ρ2444
第二节 参数方程
本节主要包括2个知识点：
1.参数方程；2.参数方程与极坐标方程的综合问题.
突破点(一) 参数方程
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函
???x＝f?t?，?x＝f?t?，
数：?并且对于t的每一个允许值，由方程组?所确定的点M(x，y)都在
??y＝g?t?，y＝g?t?????x＝f?t?，这条曲线上，那么方程?就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参
?y＝g?t??
数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
2．直线、圆、椭圆的参数方程
?x＝x0＋tcos α，?
(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为?(t为参数)．
??y＝y0＋tsin α??x＝x0＋rcos θ，
(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为?(θ为参数)．
?y＝y0＋rsin θ??x＝acos φ，?x2y2
(3)椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的参数方程为?(φ为参数)．
ab?y＝bsin φ?
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
参数方程与普通方程的互化 1．参数方程化为普通方程
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基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2θ＋cos2θ＝1等．
2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则
曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x，y的值；
(2)具体步骤
第一步，引入参数，但要选定合适的参数t；
第二步，确定参数t与变量x或y的一个关系式x＝f(t)(或y＝φ(t));
第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝g(t)(或x＝ψ(t))，问题得解．
[例1] 将下列参数方程化为普通方程．
?(1)?1
y＝?t
1x＝，t
t2－1
(t为参数)；
2
??x＝2＋sinθ，(2)?(θ为参数)． ?y＝－1＋cos 2θ?
1?2?12?2[解] (1)∵??t?＋?tt－1?＝1， ∴x2＋y2＝1.
∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1. 1
又x＝，∴x≠0.
t当t≥1时，0 ???0 2 2 (2)∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2， ∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0. ∵0≤sin2θ≤1， ∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3， ∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)． [易错提醒] 第 13 页 共 13 页 (1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x，y的取值范围，保证消参前后的方程的一致性． (2)将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x，y的取值范围的影响． 直线与圆锥曲线的参数方程及应用 1．解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路如下： 第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程； 第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题． 2．当直线经过点P(x0，y0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问 ??x＝x0＋tcos α， 题时，可以把直线的参数方程设成?(t为参数)，交点A，B对应的参数分 ?y＝y0＋tsin α? 别为t1，t2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t1＋t2，t1·t2，得到|AB|＝|t1－t2|＝?t1＋t2?2－4t1·t2. [例2] (2017·豫南九校联考)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l： ??x＝2＋tcos α，?x＝2cos θ， ?(t为参数)与曲线C：?(θ为参数)相交于不同的两点A，B. ?y＝sin θ?y＝3＋tsin α? π (1)若α＝，求线段AB的中点M的坐标； 3 (2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，3)，求直线l的斜率． x22 [解] (1)将曲线C的参数方程化为普通方程是＋y＝1. 4π 当α＝时，设点M对应的参数为t0. 3 ? 直线l的方程为? ?y＝1x＝2＋t， 2 33＋t 2 (t为参数)， x22 代入曲线C的普通方程＋y＝1，得13t2＋56t＋48＝0， 4设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2. 则t0＝ t1＋t2283??12 ＝－，所以点M的坐标为，－. 21313??13 ?x＝2＋tcos α，x22 (2)将?代入曲线C的普通方程＋y＝1， 4y＝3＋tsin α? 得(cos2α＋4sin2α)t2＋(83sin α＋4cos α)t＋12＝0， 第 14 页 共 14 页 因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝所以 2 122 2，|OP|＝7， cosα＋4sinα 2 1252 . 2＝7，得tanα＝16cosα＋4sinα 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0， 故tan α＝ [方法技巧] 1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题． ??x＝x0＋at， 2．对于形如?(t为参数)的直线的参数方程，当a2＋b2≠1时，应先化为标 ??y＝y0＋bt 55.所以直线l的斜率为. 44 准形式后才能利用t的几何意义解题． 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．[考点一]将下列参数方程化为普通方程． ?x＝1＋k，(1)?6k y＝ ?1＋k 2223k (k为参数)； ??x＝1－sin 2θ，(2)?(θ为参数)． ??y＝sin θ＋cos θ y 3·2xy3k22 解：(1)两式相除，得k＝，将其代入x＝，化简得4x＋y－6y2得x＝y?22x1＋k?1＋?2x?＝0， 6k21因为y＝，所以0 ?x＝6cos θ，?2．[考点二](2017·唐山模拟)已知曲线C的参数方程为?(θ为参数)，在同 ?y＝4sin θ? 第 15 页 共 15 页
高中数学选修4-4极坐标与参数方程
