（2）如果把问题改为空心球的内表面没有涂上吸光物质，而要求进入球内空心部分的光束在球壳外的截面积大小是多少。因
CiA?BrDiO图
为距中心光线CO越远的光线，在两球面上的入射角越大，因此抓住经外球面折射后的光线在内球面上的入射角刚好等于光从介质进入空气的临界角这条特殊光线来考虑，如图33-118所示。设?角为光由介质射入空气的临界角，在ΔABO中，有
sinrsin(???)1??abnb，
又由sini?nsinr，由图可知AD?bsini。利用以上几个关系式可得AD?a，故所求射入球内空心部分的光束在球外的截面积S????AD2??a2
点评：从本例的解答中可看出，正确分析和作出边界光线是解决问题的关键。边界光线是随着具体问题的不同而改变的，要注意针对具体问题灵活把握。
13.真空中有一个半径为R的均匀透明球，今有两束相距为2d(d≤R)对称地（即两光束与球的一条直径平行并且分别与其等距离）射到球上，
做在本子上
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试就球的折射率n的取值范围进行讨论 （1）n取何值时两束光一定在球内相交？ （2）n取何值时两束光一定在球外相交？ （3）如果n、d、R均已给定，如何判断此时两束光的交点是在球内还是在球外。
分析：设当球的折射率为n0时，两
ddO?i图
束光刚好交于球面上，如图33-123所示。令光线射入球中时的入射角为i，折射角为r，则由图中的几何关系有 又由折射定律有 n由上两式解得
00r?1i2
sinr?sini n?2cosr
又由图中的几何关系可以得到
cosr?R?R2?d2
做在本子上
?R?R2?d2??d
22?R?R2?d22R
1d2?2?21?22R1d2n0?2?21?22R
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由上式可见，对于某一个确定的比值，为使两光线刚好交于球面，球的折射率有一个确定的值n0与之对应。这样，我们可以假想，若球的实际折射率n不等于n0时，则两光线进入球内时的情况与前面图示的情况有所不同，即两光线不是交于球面上。当n?n时，两光线将比图示情况偏折
0dR得更厉害（图中角r将更小），两光线的交点必在球内；当n?n时，两光线将比图示情况偏折得
0少一些（图中的角r将大一些），两光线的交点必在球外。
若以作为一个变量来讨论上述问题，由于
0?d?1RdR，故由此确定的n0的范围是2?ndR0?2。
0解：（1）当n?2时，对于任何来说，都有n?n，即不管球的半径和两光线间的距离如何，两光线都必定在球内相交。 （2）当n?2dR时，对于任何来说，都有n?n，即
0不管球的半径和两光线间的距离如何，两光线都必定在球外相交。
（3）对于任意给定的n、R和d，则只需比较n
做在本子上
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与n
?2??n?2?21?d??0R2??0?的大小即可确定两光线的交点
是在球内还是在球外：
当n?n时，两光线的交点在球内；
0当n?n时，两光线的交点在球面上；
0当n?n时，两光线的交点在球
0外；
14．一点电荷+q和半径为a的接地导体的球心相距为h，求空间的电势分布。
分析：此处是电荷与导体上的感应电荷共同作用的情况，此
?q图41-85
处导体是一导体球，而非平板。我们自然地猜想，球上的感应电荷可否用像电荷等效替代？若可以，该电荷应在何处？
解：在导体球面上，电力线与球面正交，从电力线会聚的趋势（如图41-85（a））来看，感应电荷与-电荷?q?相当。据对称性，?q?应在z轴上，设其距球心h?。如图41-85（b）。 点电荷+q与像电荷?q?在P点的电势为
?qq?U?k???22r2?h?2?2rh?cos??r?h?2ahcos?
????
做在本子上 - 34 -
由球面上U=0，即r=a处。U=0，有
q
a2?h2?2rahcos??q?a2?h?2?2ah?cos?
上式含有参量q?与h?，因而问题化成能否找到两个参量q?和h?，使上式对于任意的?都能满足。两边平方 ? ?
得出q?和h?
a2h?haq???qhq2a2?h2?q?2?a2?h2q2a2?h2?2q2ah?hcos??q?2a2?h2?2q?2ahcos????
要使此式对任意?都成立，必须
???
q2h??q?2h
Z?qrh?Pr?q??h?r0O图41-85
h??h q???q
其中第一组解像电荷在球内，其对球外空间作用与感应电荷相同。第二组解像电荷就在q处，其对球内空间作用与感应电荷相同（第二组解并非
做在本子上
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全国中学生物理竞赛 - 复赛模拟卷
