∴
Ek122?mcm2m3P?1?2m1m1m2?m2m3?m1m3
Ek2?mc2m1m3P22??2m2m1m2?m2m3?m1m3
Ek3P32?mc2m1m2??2m3m1m2?m2m3?m1m311.玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度，内装一种在紫外线照射下会发出绿色荧光的液体，即液体中的每一点都可以成为绿色光源。已知玻璃对绿光的折射率为n1，液体对绿光的折射率为n2。当容器壁的内、外半径之比r:R为多少时，在容器侧面能看到容器壁厚为零？
分析： 所谓“从容器侧面能看到容器壁厚为零”，是指眼在容器截面位置看到绿光从C点处沿容器外壁的切线方向射出，即本题所描述为折射角为90°的临界折射，因为题中未给出n、n的大
12小关系，故需要分别讨论。 解：（1）当nn11?n2时
i1B因为是要求r:R的最小值，所以当 2AOn2n1i2CDABCD这样一种临界情况，其中BC 图 光线与容器内壁相切，CD光线和容器外壁相切， 做在本子上 - 26 - 即两次都是临界折射，此时应该有 设此时容器内壁半径为r，在直角三角形BCO中， 0sini21?sin90?n1sini2?r0/R。当r?r时，C处不可能发生临界折射， 00即不可能看到壁厚为零；当r?r时，荧光液体中很多点发出的光都能在C处发生临界折射，所以只要满足 即可看到壁厚为零。 r/R?1/n1（2）当n=n时 12此时荧光液体发出的光线将直线穿过容器内壁，只要在CB及其延长线上有发光体，即可看到壁厚为零，因此此时应满足的条件仍然是 r/R?1/n 1AEr0OBr1Ci2D图 （3）当n>n时 12因为n>n，所以荧光液体发出的光在容器内壁上 12不可能发生折射角为90?的临界折射，因此当r?r00时，所看到的壁厚不可能为零了，当r?r时，应考虑的是图33-105中ABCD这样一种临界情况，其中AB光线的入射角为90°，BC光线的折射角为r，此时应该有 1做在本子上 - 27 - 在直角三角形OBE中有 sinr所以OE?r，即 0sin90?n1?sinr1n21?OE/OB2 因为图33-104和图33-105中的i角是相同的， sin90?n1?r0/rn2 2将 r0?Rn1代入，可得当 r/R?1/n 时，可看到容器壁厚为零。 上面的讨论，图33-104和图33-105中B点和C点的位置都是任意的。故所得条件对眼的 b a 图33-114 12.（1）用折射率为2的透明物质做成内半径、外半径分别为a、b的空心球，b远大于a，内表面涂上能完全吸光的物质。问当一束平行光射向此球时被吸收掉的光束横截面积为多大？（注意：被吸收掉的光束的横截面积，指的是原来光束的横截面积，不考虑透明物质的吸收和外表面的反射。）图33-114所示是经过球心的截面图。 （2）如果外半径b趋于a时，第（1）问中的答案还能成立？为什么？ 分析：（1）如图33-115所示，不被a球吸收的极 做在本子上 - 28 - 限光线是与a球相切的光线AB，因此被吸收掉的光束横截面积应该是以R为半径的一个圆盘，面积为S??R。利用折射定律和相 2关几何关系式不难求出R而得解。 （2）在b趋于a的过程中，当b减小到一定程度时，入射到b iAErBbaiORC?DFR? 图 球面上的所有光线折射后可能都会与a球面相交，此时如果b再度减小，则依据第（1）问计算出的结果就不能成立。 解：（1）如图33-115所示，CO为穿过球心的光线，与CO相距为R的光线在b球面折射后折射光线AB恰好与a球相切，则有 R?bsini 由折射定律 sini?nsinr 所以 R?nbsinr 又因为 asinr?bi?90?A，n?2a2 braB所以 R?na? S??R为2?a。 2 图 O2?2?a2即被吸收掉的光束横截面积 （2）在b趋于a达到一定程度时，从第（1）问 做在本子上 - 29 - 的结果可知，当b减小到b?na??2a时，?b2?2?a2， 即入射到此空心球上的全部光线都将被吸收掉，此时极限光线的入射角i?90，而R=b，如图33-116所示。如果b再减小，则入射到此空心球上的全部光线仍将被吸收掉，此时极限入射光线（即入射角 2?a2i?90?）的折射线并不与内球表 i?90?bra面相切，所以被吸收光束截面积为的结论不再成立。被吸收光束 2截面积此时为?b33-117所示。 ?2?a2，参见图 图 讨论：（1）本题第（1）问可以改为求经过空心球折射后的光束在球右边形成的出射光束的截面积大小是多少的问题。从左边平行入射到空心球的光束只有AE区域间的光线经外球面折射后能够从右半球折射出来，如图33-115所示。与a球相切的光线AB光b球于D，过E点的光线入射角为90，因折射率为2，所以该折射光线的折 ?射角为45，即折射光线刚好交于b球于F点。设 ??DOF??，D到直线OF的距离为R?，且 R??bsin?， 2而出射光束截面积S???R?。由几何关系易知 ??2r?r?， ??2arcsin?arcsin(n)abab即，所以可求出S?。 - 30 - 做在本子上
全国中学生物理竞赛 - 复赛模拟卷
