高考数学总复习之函数的有关概念、定义域及值域
一、知识梳理
1.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域.
2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
3.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B. 由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集. 特别提示
函数定义的三要素是理解函数概念的关键，用映射的观点理解函数概念是对函数概念的深化.
4.函数的三种表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系
5、函数的定义域：函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围。
（1）基本初等函数的定义域：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零； （2）复合函数的定义域
6.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法.
⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 ① 函数y?kx?b(k?0,x?R)的值域为R; ② 二次函数y?ax2?bx?c(a?0,x?R)
2当a?0时值域是[4ac?b,??),当a?0时值域是(??,4ac?b]；
24a4a③ 反比例函数y?k(k?0,x?0)的值域为{y|y?0}；
x④ 指数函数y?a(a?0,且a?1,x?R)的值域为R?；
⑤ 对数函数y?logax(a?0,且a?1,x?0)的值域为R； ⑥ 函数y?sinx,y?cosx(x?R)的值域为[-1，1]；
?⑦ 函数y?tanx,x?k?? , y?cot x (x?k?,k?Z)的值域为R；
2x二、点击双基
1.设集合A=R，集合B=正实数集，则从集合A到集合B的映射f只可能是 A.f:x→y=|x| B.f:x→y=x
－x
C.f:x→y=3D.f:x→y=log2（1+|x|）
－
解析：指数函数的定义域是R，值域是（0，+∞），所以f是x→y=3x. 答案：C
2.若函数f(x)?2x2?2ax?a?1的定义域为R，则a的取值范围是（ ）
A. ?1?x?1 ?1?x?2 答案：B
B.?1?x?0 C. 0?x?1 D.
3.（全国Ⅰ，理2）已知函数f（x）=lgA.b
B.－b
1?x，若f（a）=b，则f（－a）等于 1?x11 C. D.－
bb解析：f（－a）=lg答案 B
1?a1?a=－lg=－f（a）=－b. 1?a1?a4.（全国Ⅲ，理5）函数y=log1(x2?1)的定义域是
2A.［－2，－1）∪（1，2］
C.［－2，－1）∪（1，2］
?x2?1?022????x?1?x??2解析：?log(x2?1)?0??21???x?1?1??x?2＜x≤2.
B.（－3，－1）∪（1，2）
D.（－2，－1）∪（1，2）
??x?1或x??1???－2≤x＜－1或1??2??2?x?2?1∴y=log1(x2?1)的定义域为［－2，－1）∪（1，2］.
2答案：A
5.（浙江，文9）若函数f（x）=loga（x+1）（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是［0，1］，则a等于
21 B. 2 C. D.2
23解析：f（x）=loga（x+1）的定义域是［0，1］，∴0≤x≤1，则1≤x+1≤2. 当a＞1时，0=loga1≤loga（x+1）≤loga2=1，∴a=2；
当0＜a＜1时，loga2≤loga（x+1）≤loga1=0，与值域是［0，1］矛盾. 综上，a=2. 答案：D
三、典例剖析
例1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
A.
3（1）f（x）=x2，g（x）=x3；
x?0,?1|x|（2）f（x）=，g（x）=?
?1x?0;x?（3）f（x）=
2n?1x2n?1，g（x）=（2n?1x）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）=xx?1，g（x）=x2?x；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1. 剖析：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然.
3解：（1）由于f（x）=x2=|x|，g（x）=x3=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.
x?0,?1|x|（2）由于函数f（x）=的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=?的
?1x?0;x?定义域为R，所以它们不是同一函数.
x2n?1=x，g（x）=（2n?1x）2n1=x，（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f（x）=
它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.
－
2n?1（4）由于函数f（x）=xx?1的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=x2?x的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. 评述：（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可视为同一函数.
（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数.
例2 集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________. 剖析：从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N1＝3×3＝9.反之从B到A，道理相同，有N2＝2×2×2＝8种不同映射. 答案：9 8 四、深化拓展
设集合A中含有4个元素，B中含有3个元素，现建立从A到B的映射f:A→B，且使B中每个元素在A中都有原象，则这样的映射有___________________个.
提示：因为集合A中有4个元素，集合B中有3个元素，根据题意，A中必须有2个元素有
3同一个象，因此，共有C24A3=36个映射. 答案：36
例3（1）已知f(x?)?x?1x31，求f(x)； x32x（3）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17，求f(x)；
1（4）已知f(x)满足2f(x)?f()?3x，求f(x)．
x111313解：（1）∵f(x?)?x?3?(x?)?3(x?)，
xxxx3∴f(x)?x?3x（x?2或x??2）．
2（2）令?1?t（t?1），
x222则x?，∴f(t)?lg，∴f(x)?lg (x?1)．
t?1t?1x?1（3）设f(x)?ax?b(a?0)，
则3f(x?1)?2f(x?1)?3ax?3a?3b?2ax?2a?2b ?ax?b?5a?2x?17，
∴a?2，b?7，∴f(x)?2x?7．
1（4）2f(x)?f()?3x ①，
x131把①中的x换成，得2f()?f(x)? ②，
xxx（2）已知f(?1)?lgx，求f(x)；
①?2?②得3f(x)?6x?31，∴f(x)?2x?． xx注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；
第（4）题用方程组法．
练习：给出下列两个条件：（1）f(x+1)=x+2x;
(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式. 解（1）令t=x+1,∴t≥1，x=（t-1）.
则f(t)=(t-1)+2(t-1)=t-1,即f(x)=x-1,x∈［1，+∞).
2
（2）设f(x)=ax+bx+c (a≠0),
2
∴f(x+2)=a(x+2)+b(x+2)+c,则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2. ∴??4a?4，
?4a?2b?22
2
22
∴??a?12
，又f(0)=3?c=3,∴f(x)=x-x+3.
?b??11p?x例4 求下列函数的定义域：
x?1lg(x?x2)2⑴y???(3x?2)0； ⑵y?25?x?lgcosx；⑶y?lg(x?1)?lgx?1|x?3|?3.
解：（1）要使函数有意义，则有：
??x?x2?0?0?x?1??22??|x?3|?3?0??x?0且x?-6?0?x?或?x?133?3x?2?0?2??x??3?22(x|0?x?,或?x?1}
33，∴
f(x)的定义域是：
（2）要使函数有意义，则有：
??5?x?5?3???3??25?x2?0?????5?x??,或??x?,或?x?5 ???2222??2k??2?x?2k??2,k?Z?cosx?0?3???3?∴f(x)的定义域是：{x|?5?x??,或??x?,或?x?5}
2222例5如果函数y?mx2?6mx?m?8的定义域为R，求实数m的取值范围。
解：由题意，就是不等式：mx2?6mx?m?8?0的解集为R。
（1）若m?0，则有8?0，适合题意。 （2）若m?0，则???m?0?m?0??0?m?1 ?20?m?1???36m?4m(m?8)?0??综上，实数m的取值范围是：{m|0?m?1}
（3）
ex?1x2?4x?3例6⑴求值域y?x?2x?1 ⑵求值域y?x ⑶求值域y?2.
x?x?6e?1ax?b ⑷函数f(x)?2的值域为[－1，4]，求实数a、b的值
x?1解：（1）设2x?1?t，则y?(t?1)2,(t?0)，值域为：[0,??) （2）ex? （3）y?1?y?0??1?y?1 1?y12x?12(x??3且x?2)?y?1且x? x?25 （4）a??4,b?3
五、课堂练习：
1、f(x)?lg(x2?3x?2)的定义域为A， g(x)?lg(x?1)?lg(x?2)的定义域为B，则…（ C ） （A）A=B （B）A∩B=φ （C）A?B （D）A?B 2、（江西文3）若f(x)?1log，则f(x)的定义域为(C )
1(2x?1)2A.(?1,0) B.(?1122,??) C.(?,0)?(0,??) D. (?122,2) 3、函数y?logx?1(1?3x)的定义域是（ A ）
(A)(2，+∞) (B) (1，2)∪(2，+∞) (C) (1，+∞) (D)(－13
,??) 4、函数3f(x)?x?4ax2?4ax?3的定义域为R，那么实数a的取值范围是（ D ）
(A)(－∞，+∞) (B)(0，3) (C) (－3，+∞) (D)[0,3444)
5、如果函数f(x)?(x?1)?(1?|x|)的图象在x轴上方，那么此函数的定义域为（ C (A)(－1，1) (B) (1，+∞)∪(－∞，－1) (C)(－∞，1)且x≠－1 (D) (－1，+∞)且x≠1 6、函数y?x2?1x2?1的值域为（ D ）
(A)(－1,1) (B)[ －1,1] (C)(?1,1] (D)[?1,1) 7、函数f（x）的值域为[－2，2]，则函数f（x＋1）的值域为（ C ）
(A)[－1，3] (B)[－3，1] (C)[－2，2] (D)[－1，1]
8、如果函数f（x）的定义域为[－1，3]，那么函数f（x）－f（－x）的定义域为[?1,1]. 9、如果函数f（x）=1?ax的定义域为[－12，+?)，那么实数a的取值范围是{?2}. 10、函数f(x)?ax2?ax?1a的定义域为R，那么实数a的取值范围是0?a?2. 11、函数y?ax?31?2x的值域为（－∞，－2）∪（－2，+∞），则实数a= 4 . 12、函数y?log的定义域为(?153x?1(32?8x)3,0)?(0,3).
13、函数y?x?a?a?x的定义域为{a}.
14、如果函数f(x)?kx?73kx2?4kx?3的定义域为R，则实数k的取值范围是[0,4).
15、用适当的方法求下列函数的值域：
⑴y?x?1?x2（换元法） ⑵y=
x2?xx2?x?1;
解：（1）令x?cos?，(0????），∴y?cos??sin??2sin(???4)，值域为[?1,2]
（2）?113?y?1。法一：判别式法；法二：y?1?(x?1 232)?416、求函数y?x?1x2?5x?3的值域
解：由y?x?1x2?5x?3得，yx2?(5y?1)x?3y?1?0。（1）当y?0时，有x??1，适合题意。（2）当y?0时，??(5y?1)2?4y(3y?1)?0，解得y??1或y??113。经检验，适合题意。 ）
高考数学总复习之函数的有关概念、定义域及值域
