第八讲 导数的综合应用
2024年
?x2?2ax?2a,x?1,1（2024天津理8）已知a?R，设函数f(x)??若关于x的不等式
x?1,?x?alnx,f(x)…0在R上恒成立，则a的取值范围为
A.0,1 B.0,2 C.0,e D.1,e 解析 当x?1时，f?1??1?2a?2a?1?0恒成立； 当x?1时，f?x??x?2ax?2a厖0?2a2????????x2恒成立， x?12?1?x?1????1?x??2?1?x??1? x2x2令g?x??????x?11?x1?x1?x??1?x????11?2???21?x??2?0， ?????1?x1?x??2所以2a…g?x?max?0，即a?0． 当x?1时，f?x??x?alnx厔0?ax恒成立， lnx1xx?lnx?1， 令h?x??，则h??x??22lnxlnxlnx????lnx?x?当x?e时，h??x??0，h?x?递增，当1?x?e时，h??x??0，h?x?递减， 所以当x?e时，h?x?取得最小值h?e??e. 所以a?h?x?min?e.
综上，a的取值范围是?0,e?．
2.（2024全国Ⅲ理20）已知函数f(x)?2x3?ax2?b. （1）讨论f(x)的单调性； （2）是否存在
a,b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为?1且最大值为1？若存在，求
出a,b的所有值；若不存在，说明理由. 解析（1）f?(x)?6x?2ax?2x(3x?a)． 令f?(x)?0，得x=0或x?2a. 3?a??a??x?(??,0)U,??x?f(x)?0若a>0，则当；当故f(x)??时，?0,?时，f?(x)?0．
?3??3?在(??,0),??a??a?
,???单调递增，在?0,?单调递减； ?3??3?
若a=0，f(x)在(??,??)单调递增； 若a<0，则当x????,??a??a??U(0,??)x?f(x)?0时，；当故f(x)??,0?时，f?(x)?0．
3?3??在???,??a??a?,(0,??)单调递增，在??,0?单调递减. 3??3?（2）满足题设条件的a，b存在.
1]单调递增，l]的最小值为f(0)=b，（i）当a≤0时，由（1）知，f(x)在[0，所以f(x)在区间[0，b满足题设条件当且仅当b??1，2?a?b?1，最大值为f(1)?2?a?b.此时a，即a=0，
b??1．
（ii）当a≥3时，由（1）知，f(x)在[0，1]单调递减，所以f(x)在区间[0，1]的最大值为
f(0)=b，b满足题设条件当且仅当2?a?b??1，b=1，最小值为f(1)?2?a?b．此时a，
即a=4，b=1．
a3?a??b，最大值为b（iii）当0 a3若??b??1，b=1，则a?332，与0 27a3若??b??1，2?a?b?1，则a?33或a??33或a=0，与0 27 综上，当且仅当a=0，b??1或a=4，b=1时，f(x)在[0，1]的最小值为–1，最大值为1．3.（2024浙江22）已知实数a?0，设函数f(x)=alnx?（1）当a??x?1,x?0. 3时，求函数f(x)的单调区间； 4（2）对任意x?[1x,??)f(x)?, 求a的取值范围. 均有22ae注：e=2.71828…为自然对数的底数. 解析：（Ⅰ）当a??33时，f(x)??lnx?1?x,x?0． 44f'(x)??31(1?x?2)(21?x?1)， ??4x21?x4x1?x所以，函数f(x)的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+?）． （Ⅱ）由f(1)?21，得0?a?． 42a当0?a?x21?x2x?2lnx?0． 时，f(x)?等价于2?aa42a令t?1，则t?22． a2设g(t)?tx?2t1?x?2lnx,t?22 ，则 g(t)?g(22)?8x?421?x?2lnx． （i）当x??,??? 时，1??1?7??1?22，则 xg(t)?g(22)?8x?421?x?2lnx． 记p(x)?4x?221?x?lnx,x?1，则 7p'(x)?故 2212xx?1?2x?x?1. ???xxx?1xx?1
三年高考(2017-2024)理科数学高考真题分类汇总：导数的综合应用
