15.（15届高考模拟卷·文）如图，已知球O是棱长为1 的正方体ABCD?A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为 .
A A
· O D B
C
DBC
15.（2014·浙江卷理科17）某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是_
_．(仰角
θ为直线AP与平面ABC所成角)
16.（16届金华十校一模17）如图，在矩形ABCD中，已知AB=2，AD=4，点E、F分别在AD、BC上，且AE=1，
BF=3，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上. (Ⅰ)求证: CD⊥BE; (Ⅱ)求线段BH的长度； (Ⅲ)求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值.
B
A A E D
D E H
B F
C
F C
解：（1）由于BH?平面CDEF，∴BH?CD，又由于CD?DE，BH?DE?H，
∴CD?平面DBE，∴CD?BE.
法一：（2）设BH?h，EH?k，过F作FG垂直ED于点G，因为线段BE，BF在翻折过程中长度不变，根据勾股定理：
??BE2?BH2?EH25?h2?k2?h?2?，可解得， ?2??22222222?k?1?BF?BH?FH?BH?FG?GH?9?2?h?(2?k)
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∴线段BH的长度为2.延长BA交EF于点M，因为AE:BF?MA:MB?1:3， ∴点A到平面EFCD的距离为点B到平面EFCD距离的，
13∴点A到平面EFCD的距离为，而AF?13，直线AF与平面EFCD所成角的正弦值为
23213. 39法二：（2）如图，过点E作ER∥DC，过点E作ES?平面EFCD，分别以ER、ED、ES为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点B(0,y,z)(y?0,z?0)，
?y2?z2?5,?y?1,由于F(2,2,0)，BE?5，BF?3，∴?解得 ?22z?2,4?(y?2)?z?9??于是B(0,1,2)，所以线段BH的长度为2.
（2）从而FB?(?2,?1,2)，故EA?1212872FB?(?,?,)，FA?FE?EA?(?,?,)， 3333333设平面EFCD的一个法向量为n?(0,0,1)，设直线AF与平面EFCD所成角的大小为?，
则sin??FA?nFA?n?213. 39，E是线段BC（不含点C）上一动点，把△ABE
17．（2024?诸暨市二模）如图，矩形中ABCD，AB＝1，BC＝
沿AE折起得到△AB′E，使得平面B′AC⊥平面ADC，分别记B′A，B′E与平面ADC所成角为α，β，平面B′AE与平面ADC所成锐角为θ，则（ A ）
A．θ＞α＞β
B．θ＞2α
C．θ＞2β
D．tanθ＞2tanα
【分析】由题意画出图形，作出B′A与平面ADC所成角为α，B′E与平面ADC所成角β，平面B′AE与平面ADC所成的锐角θ，分别求出tanθ和tanα，数形结合可得tanβ＜tanα，则答案可求．
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【解答】解：如图，过B作BO⊥AC，在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝由等积法可得BO＝
，可得AC＝2．
，则AO＝，∵平面B′AC⊥平面ADC，且B′O⊥AC，可得B′O⊥平面ABCD，
．∠B′EO＝β，tan
＜tanα，∴β＜α，
则∠B′AO＝α，tanα＝
过O作OF⊥AE，垂足为F，连接B′F，则∠B′FO为平面B′AE与平面ADC所成的锐角θ．
∵O到AB的距离h，∴tanθ＝＞，即tanθ＞tanα，∴θ＞α．∴θ＞α＞β
故选：A．
【点评】本题考查空间中直线与平面、平面与平面所成角的求法，考查空间想象能力与逻辑思维能力，是中档题． 18．（2017秋?嘉兴期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过EF的平面与棱BB1，DD1分别交于点G，H．设BG＝x，x∈[0，1]． ①四边形EGFH一定是菱形； ②AC∥平面EGFH；
③四边形EGFH的面积S＝f（x）在区间[0，1]上具有单调性； ④四棱锥A﹣EGFH的体积为定值． 以上结论正确的个数是（ B ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【分析】由面面平行的性质定理和四边形全等，即可判断①；运用线面平行的判定定理，可判断②； 四边形EGFH的对角线EF是固定的，根据对称性，可得四边形EGFH的面积S＝f（x），x∈[0，1]不是单调函数，即可判断③；
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计算四棱锥A﹣EGFH的体积为V＝VG﹣AEF+VH﹣AEF＝×DB×S△AEF为常数，可判断④． 【解答】解：对于①，由面面平行的性质定理可得EG∥FH，EH∥GF， 可得四边形EGFH为平行四边形，
又直角梯形CBGF和直角梯形ABGE全等，可得EG＝FG，即有四边形EGFH为菱形，故①正确； 对于②，由四边形AEFC为平行四边形，可得AC∥EF，AC?平面EGFH，EF?平面EGFH， 可得AC∥平面EGFH，故②正确；对于③，由菱形EGFH可得EF⊥GH， 四边形EGFH的对角线EF是固定的，根据对称性，
可得四边形EGFH的面积S＝f（x），x∈[0，1]不是单调函数，故③不正确； 对于④，因为四棱锥A﹣EGFH的体积为
V＝VG﹣AEF+VH﹣AEF＝×DB×S△AEF为常数，所以④正确；故选：B．
【点评】本题考查空间立体几何中的面面位置关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．
19．（2024秋?小店区校级期中）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E分别是BC，AB的中点，AB≠AC，且AC＞AD．设PC与DE所成角为α，PD与平面ABC所成角为β，二面角P﹣BC﹣A为γ，则（ A ）
A．α＜β＜γ
B．α＜γ＜β
C．β＜α＜γ
D．γ＜β＜α
【分析】PC与DE所成的角为α，这是异面直线所成的角，需把这两条直线平移到一起去；PD与平面ABC所成的角为β，这是直线与平面所成的角，需找到平面的垂线，如：PA⊥平面ABC；二面角P﹣BC﹣A的平面角为γ，关键是找到此二面角的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线定理． 【解答】解：如图所示：∵D、E分别是BC、AB的中点，∴DE∥AC ∴PC与DE所成的角为α，即∠PCA , ∵PA⊥平面ABC， ∴PD与平面ABC所成的角为β，即∠PDA
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过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，连接PQ，∵PA⊥平面ABC，
∴根据三垂线定理可得：二面角P﹣BC﹣A的平面角为γ，即∠PQA，则AC＞AD＞AQ ∴在Rt△PAC，Rt△PAD，Rt△PAQ中：tan∠PCA＜tan∠PDA＜tan∠PQA， 即tanα＜tanβ＜tanγ, 又∵α，β，γ∈（0，
），∴α＜β＜γ．故选：A．
【点评】本题考查空间中的线面关系，异面直线所成角、直线与平面所成的角、二面角、解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．（2017秋?嵊州市期末）如图，正四面体A﹣BCD，P是棱CD上的动点，设CP＝tCD （t∈（0，1）），分别记AP与BC，BD所成角为α，β，则（ D ）
A．α≥β
C．当t∈（0，]时，α≥β
B．α≤β
D．当t∈（0，]时，α≤β
【分析】采用极限思想，利用排除法，不难确定答案． 【解答】解：当t→0时，AP→AC，α→当t→1时，AP→AD，α→
，β→
，β→
，排除A，C；
，排除B；故选：D．
22. 已知正方体ABCD -A1B1C1D1，空间一动点P满足A1P丄AB1，且∠APB1=∠ADB1，则点P的轨迹为 ( B )
A.直线 B.圆 C.椭圆
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立体几何动态问题(含答案)
