又??1，故有????????1?432??1??15?0，所以?2???1．
（2）今将复平面作为给定的坐标平面，此时画出五边形．??cos2?5?isin2?5,
?4??5?1?1??cos2?5?isin2?5,?及?4是点(1,0)的相邻两顶点，他们的横坐标都是cos2?5，于是
有???????4?2cos2?5，?????2?，而由（1）
1? 得到?2???1?0，解得???1?25（舍），??5?14．
（3）??5?14，即4??1?5，两边平方，16?2?8??1?5，所以4?2 ?2??1?0 （1）
2?3??2???x （2） （1）???(2)?2，4?2????2x，所以4?2????2x，将此式
代入（1），有4(2x?1)2?2(2x?1)?1?0，于是有16x2?20x?5?0． 根的存在性问题的判断的问题，有些实数范围内的结论仍可以应用到复数范围内．
例4 设关于x的方程 2x2?3ax?a2?a?0至少有一个模等于1的根，确定实数a的值． 解：2x2?3ax?a2?a?0. （1）
222（1）实根的情形：D?9a?8(a?a)?a?8a?0，所以a?0或a??8 （2）
22将x?1代入（1）式，2?3a?a?a?0，所以a?2a?2?0，解得a??1?i，因为a是实数，所
2以不符合条件．其次，用x??1代入（1）整理后有 a?4a?2?0，解得a?2?2，这是实数，且
在（2）的范围内，故适合题中条件．
222（2）虚根的情形：D?9a?8(a?a)?a?8a?0，所以，?8?a?0．解（1）有，
x??3a??a?8ai42，为使它的模等于1，只须(?3a4)?(2?a?8a42)?1，a?a?2?0，整理后，
22∴a?2（舍）或a??1．
综上，满足条件的a为2?2,?1．
判断根的个数的问题，可以当解方程有困难时，可以调用不等式，函数单调性等手段来处理问题．
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例5 试求满足z3?2|z|?1?0非实数的复数z的个数．式中z?x?yi(x,y为实数时)． 分析：根据x?yi作为根的条件，求出x,y的关系式，由此对单变数x的函数求导，再求根． 解：满足z3?2|z|?1?0 （1）的非实数的复数记为：z?x?yi(x,y为实数时，y?0)，代入原方程，(x?yi)3?2x2?y2?1?0，所以(x3?3xy2?2x2?y2?1)?i(3x2y?y3)?0，
3222??x?3xy?2x?y?1?0∴?
23??3xy?y?0，3xy?0，由（3）
232，y?0这?y,将它代入(2)，有8x?4|x|?1?0.从而，如果x?0，则由（4）
不合题意，为此x?0，
（1）当x?0时，可化为8x3?4x?1?0,（6）等式左边看成是关于x的函数求导数得 4(6x2?1)?0，这表明方程左侧关于x的函数是增函数，又f(0)??1?0，limf(x)???．可以推知，方程（6）只有
x??一个正根，在此，由(4)可确定两个复数．
（2）x?0时，(5)式可化为8x3?4x?1?0, （7）所以 (2x?1)(4x2?2x?1)?0，从而，（7）
11?5．这两个值对应于（4）可确定4个复数． ,24式可以取两个负根：?综上，满足（1）的非实复数共有6个．
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高中数学竞赛专题讲座---复数
