复 数
专题一 复数与数列
复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握．
例1 设数列z1,z2,?,zn,?是首项为48，公比为(6?412i)的等比复数列．
（1）求z4．
（2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成a1,a2,?,an,?，试求a3． （3）求无穷级数a1?a2???an??的和． 解：（1）r?14(6?2i)?12(cos?6?isin?6)．z4?48r3?122i．
（2）使r为实数的最小自然数是6，数列a1,a2,?,an,?是首项为48，公比为r6的等比数列．所以
a3?34．
6（3）这个级数是公比?r??18的无穷等比级数，从而和?481?(?)81?1283．
例2 今定义复数列a1,a2,?,an,?如下，a1?1?i,a2?1?3i,an?1?a1?kan（n?2)，k为正
的常数．问复数an的辐角的正切与哪一个值最接近？（当n??时）
分析：寻求an的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论．
n?2n?1)?ka2． 解：an?1的辐角记作?，an?1?a1?kan?a1(1?k???k（1）当k?1时，an?1?(n?1)a1?a2?n?(n?1?a1(1?k1?kn?13)i，所以tan??nn?1?n?3kn3?1(n??)．
（2）当k?1时，an?1?)?kn?1a2?1?k1?k?1?(3?1)kn?11?k
∴tan??1?(3?1)kn?1n?3kn1?k?3k?3?1(k?1)???(n??)． k?1(0?k?1)?例3 （1）设在复数列z0,z1,?,zn,?之间有如下关系：zn?1?zn??(zn?zn?1)(n?1,2,3,?)，其中?(??1)是常复数．当z0?0,z1?1时，试将zn的值用?表示．
（2）若（1）中的??1?3i，求在圆|z|?10（z是复数）的内部总共含有zn的个数．
n?12解：（1）z2?z1??(z1?z0)??,z3?z2??(z2?z1)??……zn?zn?1??(zn?1?zn?2)??
于是，从??1得，zn?
1??1??n．
1
（2）??1?3i?2(cos?3?isin?3)，所以?n?2(cosnn?3?isinn?3),要使zn在圆|z|?10的内13n?1部，它的充分必要条件是z?10,，∴|zn|2?100．即zn?zn?10∴
13(1?2n?1，而zn?zn?n?1(1?2cosn?3?22n )，
cosn?3?22n)?100．又1?2n?1cosn?3?22n?1?2?22nn2?(1?2)，
能适合(1?2n)2?300的n只是0,1,2,3,4．在逐个验证这五个点确信都在圆|z|?10的内部，故符合条件的点共有5个．
例4 设平面上有点P0,P1,?，如图所示，其中，线段OP0,P0P1,P1P2,?，的长成首项为1，公比为
r的等比数列．
y（1）若0?r?1，则当n??时，Pn与哪一点无限接近？ （2）将（1）中的极限点用Q表示．若固定r?描述的是怎样的曲线？
12?P2而?变动时，点Q所
O?P1P?0 xn解：（1）??r(cos??isin?)，此时，若将表示点Pn的复数记作zn，则有zn?zn?1??，其中z?1就是原点O．于是zn?1????????2n?1??n?11??(??1)．|zn?11??11??|?|?n?1||1??|?rn?1|1??|,
因此，若0?r?1，令n??，则|zn?（2）z?1211??11??12|?0，zn所表示的点与
所表示的点最靠近．
，则有??z?1z，r?固定，?做变动，点?总在以原点为圆心的圆周上．但因
12|?|?，故有
|z||z?1|?2．于是当点?在以原点为中心，为半径的圆上，点
11??相应的在以点
43为
圆心，
23为半径的圆上．
例5 设在复平面上:
（1）原点为O，表示复数Z的点为A，点B由|AB|?k|OA|，AB,OA 的交角为?所确定。试求 表示点B的复数。这里k是实数。
（2）点列A0,A1,A2,?,An,?由下述方式确定：A0取(0,0)，A1取
(1,0)，An?1(n?1,2,3,?)由|AnAn?1|?2|An?1An|，以及AnAn?1,An?1An的 yB(?) C(??z?)A(z) ?O夹角?所定义。试求被表示为An复数zn。
（3）若（2）中，??简。
x?2，且记S1?z1?z3???z2n?1，S2?z2?z4???z2n，将2S1?iS2化
2
解：（1）将表示B的复数记作?，则对有关系OC?AB的点C表示为复数，就是??z，从而
??z?kz(cos??isin?)，所以??[(1?kcos?)?iksin?]z。
（2）An?1An?OP,AnAn?1?OQ所表示的点P,Q，则用复数分别表示为zn?zn?1,zn?1?zn。由?)，因此，数列{zn?zn?1}是首项为?POQ??，推出zn?1?zn?2(zn?zn?1)(co?s?isinz1?z0?1?0?1，公比为2(cos??isin?)的等比数列。所以zn?zn?1?2n?1(cos??isin?)n?1（n是
正整数）。所以zn?1?2(cosn??isinn?)1?2(cos??isin?)n。
（3）数列{z2k?1},{z2k}仍为等比数列，故可求得2S1?iS2?ni。
专题二 复数与几何
1. 有关轨迹问题：
例1 已知一圆B及圆外一点A，在圆上任取一点Q，以AQ为边按逆时针作正三角形AQP，求点P的轨迹.
解：如图：建立复平面，设AB?a，圆B半径为r.P、Q分别对应复数为z,z1， y C z???则z1?a?r.令z0?cos，??QAP?，?z?z1?z0,z1?. ?isinz3330故
zz0?a?r,?z?az0?rz0?r.故点P的轨迹是圆，圆心对应的复数
a2?3a232i，半径为r.
o A x 为az0，即
例2 已知复数z1,z2,z1?z2在复平面上分别对应点A、B、C，O为复平面的原点. (1) 若z1??12?i，向量OA逆时针旋转90，模变为原来的2倍后与向量OC重合，求z2；
（2）若z1?z2?2(z1?z2)，试判断四边形OACB的形状.
解：向量OA逆时针旋转90?，模变为原来的2倍所得的向量对应的复数为z1?2i，而OC对应的复数为z1?z2，故z1?z2=z1?2i.故z2?z1(?1?2i)?(整理可得：z2??2?23?23?12i.
32?12i)(?1?2i)
(2) ?z1?z2?2(z1?z2),BA?OC.又?四边形OACB为平行四边形，?四边形OACB为菱形. 2. 复数的模与辐角
求复数的辐角主值常有两种方法：
(1) 利用复数的三角式，应用三角函数的知识求解.
(2) 根据复数的几何意义，将问题转化为几何问题求解.
例3 设复数z满足z?1,求复数z?2的辐角主值的最大值与最小值。
解：?z?1?可设z?cos??isin?(0???2?),?z?2?cos??2?isin?.设arg(z?2)?a,由于cos??2?0,?1?sin??1,故
令y?tga?sin?cos??2?2?a?3?2.
,则可先求出y的最值。由ycos??2y?sin?,sin??ycos???2y,
2得1?ysin(???)??2y(其中tg??y),?sin(???)?1,??2y?1?y2,
3
即4y2?1?y2,?33?y?33,??33?tga?33,故arg(z?2)min?5?6,arg(z?2)max?7?6.
方法二:由z?1，知z对应的点Z在单位圆x2?y2?1上，设A（2，0），根据复数减法的几何意义，复数z?2对应的向量是AZ.（如图），
当射线AZ是圆O的切线时，z?2对应的向量分别为AZ1和AZ5?62y ，其中 7?6Z o Z1 Z1，Z2为切点.连接OZ1，则OZ1?AZ1，可知?OAZ1为直角三角形. 由OZ1?1,OA?2,故arg(z?2)min?例4 设A? z z?解：?满足z?,arg(z?2)max?A x ?Z2 2?1??z z?1?,z?C,求A中辐角主值最大的复数z.
?，满足z?1的点2?1的点在以(?2,0)为圆心，以1为半径的圆内（包括圆周）
在单位圆内，（包括圆周），?A对应如图两圆共同部分 .?A中辐角主值最大的复数P点对应的复数
z?cos5?4?isin5?4??22?22i
z2中至少有一个是1. 例5 若z1,z2?c,求证：z1?z2?1?z1?z2成立的充分必要条件是z1、证：必要性：?z1?z22?1?z1?z2,?z1?z22?1?z1?z22,故有
?z?z1?z2?z1?z2??1?z1?z2??1?z1?z2.根据互为共轭的复数间关系有：
?z2211????z????z2?(1?z1?z2)(1?z1?z2).化简整理得：z1?z1?z2?z2?1?z1z2?z1?z2
2??z1?z2?1?z12?z22,?z1?2?1z2??2?1?0,?z1、z2至少有一个为1 。
?充分性：以上过程均可逆。
? 结论成立。
常用到的与复数的模相关的结论：
nn（1）z?z?|z|2?|z|2 （2）|z1?z2|?|z1|?|z2| ?|z|?|z|(n?N)
（3）|z1z2|?|z1||z2|(z2?0) （4）||z1|?|z2||?|z1?z2|?|z1|?|z2|.
2222（5）?|z|?a?|z|,?|z|?b?|z|(z?a?bi),|z1?z2|?|z1?z2|?2|z1|?2|z2|.
例6 某草场上有宝.取宝法如下：该草场上原有一株橡树、一株松树、一个绞架.从绞架走到橡树，记住步数，向右拐90走同样多步打个桩.然后回到绞架那里，再走到松树，记住步数，向左拐90走同样多步，又打一个桩.在这两个桩正中挖掘，可以得宝。年久日长，草场上绞架已经风化，渺无踪迹，但是橡、松二树犹存.问应如何取宝.
解：取草场为复平面，以两棵树所在的直线为实轴，以两棵树连线的中点 为原点O，建立如图所示的坐标系，设A、B为橡、松二树，其坐标分别为 （-1，0），（1，0）. 令点Z表示绞架，Z1、Z2、Z0分别表示第一个桩、第二个 桩以及两桩的中点.他们对应的复数分别表示为z,z1,z2,z0.
A O Z1 y Z Z2 B X ??由复数减法的几何意义，知 AZ1 对应的复数为z1?1 ；BZ1对应的复数为z2?1.依照乘法的几
4
何几何意义，知AZ1可由AZ逆时针旋转90?得到.z1?1?(z?1)i,即z1??1?(z?1)i 同理,z2?1?(z?1)i,其中点Z0 对应的复数为z0?z1?z22?i.即Z0 为虚轴上的点i.∴不论绞架位置
在哪儿，宝的位置总对应虚轴上相应于复数为 的那一点，故宝可取.
例7 某人在宽大的大草原上自由漫步，突发如下想法：向某一方向走1km后向左转30?，后向前 走1km后向左转30?，如此下去，能回到出发点吗？
解：以出发点作为坐标原点O，走第一个1km时所沿的直线作为 Ox轴， 建立如图所示的复平面.
O 3A 0Y C 3B 0X ∴第一个1km的终点A对应的复数是1，第二个1km的终点B对应的复数是 1+(cos30??isin30?)，第三个1km的终点C对应的复数是1+(cos30??isin30?)+(cos60??isin60?).
如此下去，走第n个1km时所达到的点对应的复数是1+(cos30??isin30?)+(cos60??isin60?) +??cos(n?1)30??isin(n?1)30?，即1+(cos30??isin30?)+(cos30??isin30?)2+
??(cos30?isin30)??n?1 =
1?(cosn30?isin30)1?(cos30?isin30)???? 当 n =12时，上述复数为0，即可回到出发点。
专题三 复数与方程
1. n次方程一定有n个复数根．
例1 求zn?1的根．
解：设z?r(cos??isin?)，根据隶莫佛定理，rn(cosn??isinn?)?1，从而方程的根
2?n2?n是cos?isin（n?0,1,2,3,?）．
2?n注：这n个根的模都等于1，它的辐角按增加，由此可见，这n个根均位于单位圆上把圆周作了n等分．
例2 设在1的立方根中，记其中不等于1的一个根为?，问????1的值是多少？再问，当n是整数时，?3n2?1的值是多少？
2解：x?1?(x?1)(x?x?1)?0，于是????1?0．?1323n?1?2．
例3 （1）设?是1的5次方根（?1），当?????时，求?2??的值．
（2）以原点位中心，以(1,0)为顶点作五边形．求与(1,0)相邻的两个顶点的x坐标?的值． （3）试构造一个以2???232??为一个根的整系数二次方程．
1111解：（1）?
???(??1?)???2???2?2??2??????2(?4??3??2???1)?1,
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高中数学竞赛专题讲座 - 复数
