成都石室中学2024届一诊考试-理科数学参考答案
1.已知集合A??x?N|x?1?，B??x|x?5?，则AIB? （A）?x|1?x?5?（B）?x|x?1?（C）?2,3,4?（D）?1,2,3,4,5? 答案：C 【解析】：AIB??x?N|1?X?5???2,3,4?
故选C
2.设i为虚数单位，若复数z满足iz?1?i，则z的共轭复数为 ．．（A）1?i（B）?1?i（C）?1?i（D）1?i 答案：D
1?ii?1【解析】：Qz???1?i?z?1?i
i?1故选D
uuuruuur3.若等边?ABC的边长为4，则AB?AC?
（A）8（B）?8（C）83（D）?83 答案：A
uuuruuuruuuruuur10【解析】：Q?BAC?60?ABgAC?ABACcos600?4?4??8
2故选A
334.在?2x?1??x?y?的展开式中xy的系数为
6（A）50（B）20（C）15（D）?20 答案：B
33【解析】：?2x?1??x?y??2x?x?y???x?y?，只有??x?y?才存在xy项，故为
66663?C6x3(?y)3?20x3 y故选B
5.若等比数列?an?满足：a1?1,a5?4a3,a1?a2?a3?7，则该数列的公比为 （A）?2（B）2（C）?2（D）答案：B 【解析】：
1 2a5?q2a3?4a3?q??2
当q?2时，a1?a2?a3?1?q?q2?7成立； 当q??2时，a1?a2?a3?1?q?q2?3不成立； 故选B
6.若实数a,b满足a?b，则
（A）ea?eb（B）sina?sinb（C）ea?答案：C
1122bln(1?a?a)?ln(1?b?b) （D）?e?eaeb??1【解析】：Qe?2?e1?A错误；sin(?)?sin?B错误；f(x)?ex?x为偶函数，且当x?(0,??)时，单
26e调递增，故C正确 故选C
B2，点E,F分别为棱BB1,CC1上两点，且7.在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?4,A?11BE?BB1,CF?CC1，则
42（A）D1E?AF，且直线D1E,AF异面（B）D1E?AF，且直线D1E,AF相交
（C）D1E?AF，且直线D1E,AF异面（D）D1E?AF，且直线D1E,AF相交 答案：A
【解析】：QD1E?D1B12?B1E2?17,AF?AC2?CF2?12?D1E，取点M为的中点，AD1//MF故
AEFD1共面，点E在面AEFD1面外，故直线D1E,AF异面 故选A
12x?9alnx，若f?x?在点(3,f(3))的切线与x轴平行，且在区间?m?1,m?1?上单2调递减，则实数m的取值范围是
8.设函数f?x??（A）m?2（B）m?4（C）1?m?2（D）0?m?3 答案：C
9a因为x?0，所以当0?x?3时，f'(x)?0，即f(x)在(0,3],f'(3)?0,?a?1，
x?0?m?1上递减，所以?，1?m?2．故选C．
?m?1?3【解析】f'(x)?x?9.国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先
13到第30分的一方获胜.在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为20：
2520，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为
1397（A）（B）（C）（D）
8205020答案：B
【解析】：由题意知：接下来4个球为甲“赢输赢赢”或“输赢赢赢”，故概率为
113113113P?????????
2252252220故选B 10.函数f(x)?1的图象大致为
ex?1?x
（A）（B）（C）（D） 答案：D
xx?1x?1【解析】：e?x?1?e?x?e?x?0?f(x)?0 故选D
2211.设圆C：x?y?2x?3?0，若等边?PAB的一边AB为圆C的一条弦，则线段PC长度的最大值为 （A）10（B）23（C）4（D）26 答案：C 【解析】：连接AC，BC，设?CAB??，连接PC与AB交于点D，∵AC?BC，△PAB是等边三角形，∴D是AB的中点，∴PC?AB，∴在圆C：(x?1)2?(y?2)2?4中，圆C的半径为2， |AB|?4cos?，|CD|?2sin?，∴在等边△PAB中，|PD|?3|AB|?23cos?， 2π??∴|PC|?|CD|?|PD|?2sin??23cos??4sin????≤4
3??故选C
12.设函数f(x)?cos2x?sinx，下述四个结论：
1f(x)是偶函数；○2f(x)的最小正周期为?； ○
3f(x)的最小值为0；○4f(x)在[0,2?]上有3个零点. ○
其中所有正确结论的编号是
1○2（B）○1○2○3（C）○1○3○4（D）○2○3○4 （A）○
答案：B
1正确； 【解析】：f(?x)?cos(|?2x|)?|sin(?x)|?f(x)故○2正确； f(x?π)?cos(|2x?π|)?|sin(x?π)|?f(x)故○
13f(x)?1?2sin2x?|sinx|??2(|sinx|?)?
44又0?|sinx|?1，∴当|sinx|?1时，ymin?0
故选B
13.若等差数列?an?满足：a1?1,a2?a3?5，则an?．
答案：n 【解析】：a1?1,a2?a3?1?d?1?2d?5?d?1?an?n
14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为． 答案：0.4 【解析】：不买猪肉的30人，不买肉的10人，故买了猪肉的70人，猪肉和其它肉都买的30人，故只有买猪肉的40人，所以答案为0.4
y2215.已知双曲线C:x??1的左，右焦点分别为F1,F2，过F1的直线l分别与两条渐进线交于A,B两点，
3uuuruuuruuuruuur若F1B?F2B?0,F1A??AB，则??． 答案：1 【解析】：QO为F1F2的中点，BO?c?OF2，?BOF2?600，??BF2O为等边三角形，故?BF2O?600所以F2B//OA?A为F1B的中点，即??1
x?x?1??e?a?16.若函数f?x???2x?2ax?a?????x≥1??恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ．
答案：[,1)12{2}[e,??)
?e?a?02?a?1?2a【解析】：当a?0时,不满足题意.
当0?a?2时,要使函数函数f?x?恰有2个零点,即?当a?2时,满足题意.
当a?2时,a?2a?4, 要使函数函数f?x?恰有2个零点,即e?a?0.所以a?e. 综上所述：实数a的取值范围是[,1)2?1?a?1. 212{2}[e,??).
17.（12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费, 并注册成为会员, 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下： 消费次第 收费比率 第1次 第2次 第3次 第4次 ?5次 0.80 1 0.95 0.90 0.85 该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中, 随机抽取了100位进行统计, 得到统计数据如下: 消费次数 1次 2次 3次 4次 5次 人数 60 20 10 5 5 假设汽车美容一次, 公司成本为150元, 根据所给数据, 解答下列问题: （Ⅰ）某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润； （Ⅱ）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率, 设该公司为一位会员服务的平均利润为X元, 求X的分布列和数学期望E?X?.
解：（1）Q第一次消费为200元，利润为50元；第二次消费190元，利润为40元 ?两次消费的平均利润为45元… … … …… … …… …… … … … … … … … … ...4分 （2）若该会员消费1次，则X?50
P(X?50)?0.6… … … …… … …… …… … … … … … … … … ...5分
50?40若该会员消费2次，则X??45
2P(X?45)?0.2… … … …… … …… …… … … … … … ………… … ...6分
50?40?30若该会员消费3次，则X??40
3P(X?40)?0.1… … … …… … …… …… … … … … … … ………… ...7分
50?40?30?20若该会员消费4次，则X??35
4P(X?35)?0.05
50?40?30?20?10若该会员消费5次，则X??30
5P(X?30)?0.05… … … …… … …… …… … … … … … … …… … ...8分
故X的分布列为： 50 45 40 35 30 X 0.6 0.2 0.1 0.05 0.05 P X的期望为EX?50?0.6?45?0.2?40?0.1?35?0.05?30?0.05?46.25（元）… … ...12分
3Bsin(A?C)?cos2． 18.（12分）?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，设22（Ⅰ）求sinB；（Ⅱ）若?ABC的周长为8，求?ABC的面积的取值范围.
3Bsin(A?C)?cos2且sin(A?C)?sinB （1）解：Q2233BBBB?BBB?sinB?g2sincos?cos2又Q0???sin?0?3sin?cos 2222222222B3B?3?… … … … … ……………………………… ...6分 ?tan????B??sinB?223263（2）由题意知：b?8?(a?c)
a2?c2?b2?64?16(a?c)?2ac1?cosB???
2ac2ac2?3ac??64?16(a?c)??64?32ac?3ac?32ac?64?0?(3ac?8)(ac?8)?0
13163864或ac?8（舍）?ac?（当a?c时取\?\） ?S?ABC?acsinB?ac?24939163综上，?ABC的面积的取值范围为(0,]… … ……………… … … ...12分
9019.（12分）如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且?ADC?60，?ac?AA1?CD1?5，AD1?7.
（Ⅰ）证明：平面CDD1?平面ABCD； （Ⅱ）求二面角D1?AD?C的余弦值.
（1）令CD的中点为O，连接OA,OD1,AC
QAA1?CD1?5,DC?2?D1O?DC且D1O?DD12?DO2?2
又Q底面ABCD为边长为2的菱形，且?ADC?600?AO?3 又QAD1?7?AD12?D1O2?AO2?D1O?OA 又QOA,DC?ABCD,OA?DC?O?D1O?ABCD 又QD1O?CDD1?CDD1?ABCD… … … … … … ...6分 （2）过O作直线OH?AD于H，连接D1H QD1O?ABCD?D1O?AD?AD?OHD1?AD?HD1 ??D1HO为二面角D1?AD?C所成的平面角
又QOD?1,?ODA?600?OH??cos?OHD1?319?D1H?2257… …… … … ...12分 19
x2y2??1，过点A(2，20.（12分）设椭圆C:1)的直线AP,AQ分别交C于不同的两点P,Q，直线PQ82恒过点B(4,0)．
（Ⅰ）证明：直线AP,AQ的斜率之和为定值；
（Ⅱ）直线AP,AQ分别与x轴相交于M,N两点,在x轴上是否存在定点G,使得GM?GN为定值？若
存在,求出点G的坐标,若不存在,请说明理由．
解：（Ⅰ）设P?x1,y1?,Q?x2,y2?,M?x3,0?,N?x4,0?，直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k,k1,k2，
??y?k?x?4?2222由?得1?4kx?32kx?64k?8?0… … … ...2分
22??x?4y?82232k64k?81xx?，， ??0，可得：k2?，x1?x2?121?4k21?4k24y?1y2?1k?x1?4??1k?x2?4??1k1?k2?1???x1?2x2?2x1?2x2?22kx1x2??6k?1??x1?x2??16k?4… …… …… … … … … … … …………… ...4分 ?x1x2?2?x1?x2??4??64k2?832k22k???6k?1???16k?422?16k2?41?4k1?4k????1… … … … … … … ...6分
64k2?832k216k2?4?2??4221?4k1?4k1?1?（Ⅱ）由y?1?k1?x?2?，令y?0，得x3?2?，即M?2?,0?
k1k1??同理x4?2?1?1?，即N?2?,0?，设x轴上存在定点G(x0,0)则… … …… … ……8分 k2k2????1?1?111GM?GN?x0??2???x0??2???(x0?2)2?(x0?2)?(?)?
k1?k2?k1k2k1k2??
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