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第1讲 全等三角形的性质与判定
考点·方法·破译
1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；
3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；
4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；
5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.
经典·考题·赏析
【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么图中有全等三角形（ ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
D A
【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一
E
对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.
解：⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC＝90. ∴∠DCB＝90. B C F 在△ABC和△DCB中
AB?DC???∠ABC?∠DCB ∴△ABC≌∴△DCB（SAS ） ∴∠A＝∠D ?BC?CB?⑵在△ABE和△DCE中
?∠A?∠D??∠AED?∠DEC ∴△ABE≌∴△DCE ∴BE＝CE ?AB?DC?⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中
?BE?CE ??EF?EF∴Rt△EFB≌Rt△EFC（HL）故选C. 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
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D．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，
则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明. C
B D A E F 03．(上海)已知线段AC与BD相交于点O, 连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，
连接EF（如图所示）.
⑴添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：AB＝DC； ⑵分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结
A D 论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命
题（选择“真”或“假”填入空格）. O E F C B
【例２】已知AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB. 求证：AF＝DE.
【解法指导】想证AF＝DE，首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和△AEF中，而DE在△CDE和△DEF中，因而只需证明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.
证明：∵FB＝CE ∴FB＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF A D
?AB?DC
?
在△ABE和△DCF中, ?AE?DF
?BE?CF?
∴△ABE≌△DCF（SSS） ∴∠B＝∠C
C
E F
B
?AB?DC?在△ABF和△DCE中, ?∠B?∠C ∴△ABF≌△DCE ∴AF＝DE
?BF?CE?【变式题组】
01．如图，AD、BE是锐角△ABC的高，相交于点O，若BO＝AC，BC＝7，CD＝2，则AO的
长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5
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A E
B
A D C
C 第2题图
E
O
B
D 第1题图
02.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD
⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝__________. \\ 03．（北京）已知：如图，在△ABC中，∠ ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝
BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F. 求证：AB＝FC.
F
B D A E
C
【例３】如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.
⑴当△DEF旋转至如图②位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是________________;
⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.
A C B D 图① A E F B(E) F F O C 图② D B（E） C 图③
D
A
【解法指导】⑴∠AFD＝∠DCA
⑵∠AFD＝∠DCA理由如下：由△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF, ∠ABC＝∠DEF, ∠BAC＝∠EDF ∴∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF, ∴∠ABF＝∠DEC
AB?DE??在△ABF和△DEC中, ?∠ABF?∠DEC
?BF?EC?∴△ABF≌△DEC ∠BAF＝∠DEC ∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC, ∴∠FAC＝∠CDF
∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA
∴∠AFD＝∠DCA
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【变式题组】 01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C
落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（ ） A．42° B．48° C．52° D．58° 02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（ ）
A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90° C． AC＝DF D．EC＝CF
C A
D A E G
F
03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下
图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上. ⑴求证：AB⊥ED；
⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.
A A E C E M F B B F C D P N D P 第1题图 B B E 第2题图
C
D 【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB. 求证：⑴ AP＝AQ；⑵AP⊥AQ
【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.
A 证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，
E ∴∠BDA＝∠CEA＝90°, D ∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2. F 1 P
?AB?QCB ? 在△APB和△QAC中, ?∠1?∠2 ∴△APB≌△QAC，
?BP?CA?∴AP＝AQ
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Q 2 C 欢迎加入初中数学交流群，每天都有资料更新！联系微信shouyu2024
⑵∵△APB≌△QAC，∴∠P＝∠CAQ, ∴∠P＋∠PAD＝90° ∵∠CAQ＋∠PAD＝90°，∴AP⊥AQ 【变式题组】
01．如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BA＝ED，点F是CD的中点，求证：AF⊥CD.
B
C A E F 02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）
A．
D a?bm 2B．
a?bm 2B C．bm C D．am
M
N D
75° 45° A C 第2题图
B A
第3题图
E
03．如图，已知五边形ABCDE中，∠ ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，则五
边形ABCDE的面积为__________
演练巩固·反馈提高
01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
50° a c
a α A/ B B/ O A C A P B D 第3题图 58° 72° b 第1题图
c 第2题图 C 02．如图，△ACB≌△A/C/B/，∠ BCB/＝30°，则∠ACA/的度数是（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、
OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于
1CD长为半径画弧，两弧交于点P，2作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）
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中考数学专题讲义 第1讲 全等三角形的性质与判定
