空间角和空间距离
空间角
(1)两条异面直线所成的角：
两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线c∥a，d∥b，我们把直线c和d所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角。
注意：①两条异面直线a，b所成的角的范围是（0°，90°]． ②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出．
③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法： (i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点．
(ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法来实现． (iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角(锐角或直角)，这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围． （2）直线与平面所成的角 1)直线与平面斜交时，直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射影所成的锐角．
2)直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为
．
．
3)直线与平面平行或在平面内时，直线与平面所成的角为显然，直线与平面所成的角的范围为
．
4）求一条斜线和平面所成的角：做出这条斜线在平面内的射影，再确定斜线和射影所成角的大小即可。 斜线在平面内的射影：从斜线上除斜足外的任意一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，斜线上任意一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。 （3）二面角
(1)二面角的定义
一条直线出发的二个半平面所形成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，二个半平面称为二面角的面．
(2)二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角． 注意：①二面角的平面角两边必须都与棱垂直．
②二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置关系所确定的，与定义中棱上任一点的选择无关，也就是二面角的平面角不只一个，但这些平面角的大小是相等的．
③二面角的平面角的范围是相交时
；共面时
，当两个半平面重合时，
；
．平面角是直角的二面角叫做直二面角．
(3)二面角的平面角的确定与求法
1
①直接法：这种方法的思路是：先作出二面角的平面角，然后通过解三角形，求出平面角的大小，即为所求的二面角的大小．
②公式法：射影面积公式，如果平面多边形的面积为S，它在平面内的射影面积为
，平面多边形与平面
所夹的锐二面角为，那么
．
空间距离
（1）两条异面直线间的距离：
两条异面直线a、b，设A是a上面某点、B是b上面某点，连接AB，使得a⊥AB， b⊥AB，则直线AB叫做异面直线a和b的公垂线，公垂线段AB的长度叫做异面直线a与b之间的距离。
注意：①和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。 ②两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，才是两条异面直线间的距离，它是确定的值。
③任意两条异面直线的公垂线都是存在且唯一的。
求两条异面直线间的距离：先找到公垂线，再确定公垂线短的长度即可。
（2）点到平面的距离：
平面外一点到平面的距离是从这一点向平面引垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离。
点到平面的距离的确定和求法：
①直接法：通过做垂线找到这个距离，再算出或确定它的大小即可。
②等体积法：在某个具体图形中将这个点到平面的距离视作某个几何图形的高，再通过体积变换求出这个几何图形的体积，从而算出高确定距离。
（3）与平面平行的直线到平面的距离： 一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。
求法：转化成点到平面的距离。
（4）两平行平面间的距离： 如果两个平面平行，那么其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离，叫做这两个平行平面间的距离。
求法：转化成点到平面的距离。 典型例题剖析
例1．已知：a、b是两条异面直线，直线a上的两点A、B的距离为6，直线b上的两点C、D的距离为8，AC、BD的中点分别为M、N，且MN=5．求异面直线a、b所成的角．
2
例2．正方体中，求与平面所成的角.
例3.在正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面边长为22，侧棱长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点，求点D′到平面B′EF的距离．
例4．如图，已知面ABC成
中，
，
平面ABC，
，PB与平
角，求二面角A－PB－C的正弦值．
例5．（2016年新课标1）平面?过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，?//平面CB1D1,??平面ABCD?m，??平面ABB1A1?n，则m，n所成角的正弦值为
（A）1323 （B） （C） （D）
32323
例6.在正方体A．例7.在A．
B．
中，与对角面所成角的大小是（ ） D．
C．
中，AB=AC=5，BC=6，
B．
平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是（ ）
D．
C．
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1.如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA,E,F,G分别是1?AB?2,AD?1． DD1,AB,CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角余弦值是（ ）
A.
15210 B． C． D．0 5252.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为 （A）6π （B）43π （C）46π （D）63π
AB?2，CC1?22，E为CC1的中点，则直3.已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中 ，
线AC1与平面BED的距离为
（A）2 （B）3 （C）2 （D）1
4．（2017年新课标3）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A．π
B．
3π 4 C．
π 2 D．
π 45. (2015高考新课标2)已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( ) A．36π B.64π C.144π D.256π
6.P是边长为a的正三角ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝a， E、F是AB和PC的中点，则异面直线PA与EF所成的角为（ ）
4
?AB'A'B?
A．30? B．45? C．60? D．90? 第7题图 7．如图，平面??平面?，A??,B??,AB与两平面?、?所成的角分别为过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'、B?，则AB:A'B'?
（A）2:1 （B）3:1 （C）3:2 （D）4:3 8． 已知二面角??l??的大小为60，m、n为异面直线，且
0??和。46m??，n??，则m、n所成的角为
（A）30 （B）60 （C）90 （D）120
9．已知球O半径为1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C
两点的球面距离都是?，B、C两点的球面距离是?，则二面角B?OA?C的大小是
34（A）
0000??? （B） （C） （D）2? 432310. 【2014大纲高考理第11题】已知二面角??l??为60?， AB??，AB?l，A为垂足，CD??，C?l，?ACD?135?，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A．
1123 B． C． D． 424411．已知正四棱椎的体积为12，底面的对角线为26，则侧面与底面所成的二面角为____________.
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1和AB成角为 ．
13. 在正三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面
ACC1A1所成的角是____________.
14.已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23正方形,若PA=26,则△OAB的面积为______________.
15.已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE 5
必修2空间角和空间距离(理科)
