欧阳美创编 2021.01.01 欧阳美创编 2021.01.01
第九章 压杆稳定 习题解
时间：2021.01.01 创作：欧阳美 [习题9-1]在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式
Pcr??2EIl2。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲
线形状时，压杆在Fcr作用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同，由此所得Fcr公式又是否相同。
解：挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关，与挠
曲线的位置无关。
因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是
EIw\??M(x)。（c）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的
挠曲线微分方程：
EIw\?M(x)，显然，这微分方程与
（a）的微分方程不同。
临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：
Pcr??2EIl2。
[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能
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转动）？
?2EIPcr?2(?.l)解：压杆能承受的临界压力为：。由这公式可知，
对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与原压相
的相当长度?l的平方成反比，其中，?为与约束情况有关的长度系数。 （a）?l?1?5?5m （b）?l?0.7?7?4.9m （c）?l?0.5?9?4.5m （d）?l?2?2?4m （e）?l?1?8?8m
（f）?l?0.7?5?3.5m（下段）；?l?0.5?5?2.5m（上段） 故图e所示杆Fcr最小，图f所示杆Fcr最大。
[习题9-3] 图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为
Pcr??2EImin(2.l)2
？为什么？并由此判断压杆长因数?是否可能大于2。 螺旋千斤顶（图c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l的压杆是否偏于安全？ 解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座
不同于(b)的下支座，所以它们的临界力计算公式不同。(b)为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素
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。但是，(a)为一端弹簧
支座，一端自由的情况，它的长度因素??2，因此，不能用
Pcr???2，其临界力为：
Pcr??2EImin(2.l)2?2EImin(2.l)2来计算临界力。
MEIl 为了考察（a）情况下的临界力，我们不妨设下支
座（B）的转动刚度
C???20，且无侧向位移，则：
Fcr?k2\22令EI，得：w?kw?k?
微分方程的通解为：w?Asinkx?Bcoskx?? 由边界条件：x?0，w?0，解得：
A?Fcr?Ckw'???MFcr??CC；x?l，w??
，B???，
kltankl???Fcr?sinkl??coskl??Ck
整理后得到稳定方程：
C?20EI/l
用试算法得： kl?1.496
EI?2EIFcr?(1.496)?2l(2.1l)故得到压杆的临界力：
2。
因此，长度因素?可以大于2。这与弹性支座的转动刚度
C有关，C越小，则?值越大。当C?0时，???。 螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以看作是固定端。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端
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《材料力学》第9章压杆稳定习题解之欧阳美创编
