1极值点偏移定义及判定定理
所谓极值点偏移问题,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速
度不同,使得函数图像没有对称性。若函数f(x)在x?x0处取得极值,且函数
y?f(x)与直线y?b交于A(x1,b),B(x2,b)两点,则AB的中点为M(x1?x2,b),2而往往x0?x1?x2.如下图所示. 2
极值点没有偏移
一、极值点偏移判定方法 1、极值点偏移的定义
对于函数y?f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0,方程f(x)?0的解分别为x1、x2,且a?x1?x2?b,（1）若上极值点x0偏移；（2） 若
x1?x2?x0,则称函数y?f(x)在区间(x1,x2)2x1?x2?x0,则函数y?f(x)在区间(x1,x2)上极值点x02x?x左偏,简称极值点x0左偏； （3）若12?x0,则函数y?f(x)在区间(x1,x2)上
2极值点x0右偏,简称极值点x0右偏。 2、极值点偏移的判定定理
判定定理,对于可导函数y?f(x),在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0,方程f(x)?0的解分别为x1、x2,且a?x1?x2?b,（1）若f'(则
x1?x2)?0,2x1?x2?(?)x0,即函数y?f(x)在区间(x1,x2)上极大（小）值点x0右（左）偏；2x?xx?x（2）0若f'(12)?0,则12?(?)x0,即函数y?f(x)在区间(x1,x2)上极大
22（小）值点x0左（右）偏。
1
二、极值点偏移问题的一般题设形式：
1. 若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1?x2,求证：（x0为函数f(x)x1?x2?2x0的极值点）；
2. 若函数f(x)中存在x1,x2且x1?x2满足f(x1)?f(x2),求证：x1?x2?2x0（x0为函数f(x)的极值点）；
x1?x2,求证：f'(x0)?0； 2x?x24. 若函数f(x)中存在x1,x2且x1?x2满足f(x1)?f(x2),令x0?1,求证：
23. 若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1?x2,令x0?f'(x0)?0
三、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述：
（1）求出函数f(x)的极值点x0；
（2）构造一元差函数F(x)?f(x0?x)?f(x0?x)； （3）确定函数F(x)的单调性；
（4）结合F(0)?0,判断F(x)的符号,从而确定f(x0?x)、f(x0?x)的大小关系.
2
口诀：极值偏离对称轴,构造函数觅行踪；四个步骤环相扣,两次单调紧跟随.
2、抽化模型
答题模板：若已知函数f(x)满足f(x1)?f(x2),x0为函数f(x)的极值点,求证：
x1?x2?2x0.
（1）讨论函数f(x)的单调性并求出f(x)的极值点x0；
假设此处f(x)在(??,x0)上单调递减,在(x0,??)上单调递增. （2）构造F(x)?f(x0?x)?f(x0?x)；
注：此处根据题意需要还可以构造成F(x)?f(x)?f(2x0?x)的形式. （3）通过求导F'(x)讨论F(x)的单调性,判断出F(x)在某段区间上的正负,并得出f(x0?x)与f(x0?x)的大小关系；
假设此处F(x)在(0,??)上单调递增,那么我们便可得出
F(x)?F(x0)?f(x0)?f(x0)?0,从而得到：x?x0时,f(x0?x)?f(x0?x). （4）不妨设x1?x0?x2,通过f(x)的单调性,f(x1)?f(x2),f(x0?x)与f(x0?x)的大小关系得出结论；
接上述情况,由于x?x0时,f(x0?x)?f(x0?x)且x1?x0?x2,f(x1)?f(x2),故
f(x1)?f(x2)?f[x0?(x2?x0)]?f[x0?(x2?x0)]?f(2x0?x2),又因为
x1?x0,2x0?x2?x0且f(x)在(??,x0)上单调递减,从而得到x1?2x0?x2,从而x1?x2?2x0得证. （5）若要证明f'(x1?x2x?x2x?x2)?0,还需进一步讨论1与x0的大小,得出1所222在的单调区间,从而得出该处函数导数值的正负,从而结论得证.21世纪教育网版权所有
此处只需继续证明：因为x1?x2?2x0,故
3
x1?x2?x0,由于f(x)在(??,x0)上2
极值点偏移定义及判定定理
