集合的表示
基础知识
知识点1 列举法
把集合的所有元素__一一列举__出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法. 思考1:哪些集合适合用列举法表示? 提示:(1)含有有限个元素且个数较少的集合.
(2)元素较多,元素的排列又呈现一定的规律,在不至于发生误解的情况下,也可列出几个元素作代表,其他元素用省略号表示,如N可表示为{0,1,2,…,n,…}. (3)当集合所含元素不易表述时,用列举法表示方便.如集合{x2,x2+y2,x3}. 知识点2 描述法
1.设A是一个集合,把集合A中所有具有__共同特征__P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}. 2.具体步骤:
(1)在花括号内写上表示这个集合的元素的一般符号及取值(或变化)范围. (2)画一条竖线.
(3)在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 思考2:什么类型的集合适合描述法表示?
提示:描述法可以看清集合的元素特征,一般含较多元素或无数多个元素(无限集)且排列无明显规律的集合,或者元素不能一一列举的集合,宜用描述法.
基础自测
1.判断下列说法是否正确,正确的打“√”,错误的打“×”. (1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.( × ) (2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( × )
(3)集合A={x|x-1=0}与集合B={1}表示同一个集合.( √ ) 2.不等式x-3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为__{1,2,3,4}__.
??x+y=3,3.方程组?的解集可表示为__①②④__(填序号).
?x-y=-1?
????x+y=3,
①??x,y???
?x-y=-1???
??; ?
??x=1,??②??x,y???
?y=2???
?
?; ?
③{1,2};④{(x,y)|x=1,y=2}. 4.说明下列各集合的含义: 1y
A={y|y=};B={(x,y)|=1};
xx-3C={(0,1)};D={x+y=1,x-y=-1}.
[解析] A表示y的取值集合,由反比例函数的图象,知A={y∈R|y≠0}, B的代表元素是点(x,y),其表示直线y=x-3上除去点(3,0)外所有点组成的集合. C表示一个单元素集,元素是一个有序实数对(0,1).
D表示以方程“x+y=1”和“x-y=-1”为元素的一个二元素集.
题型探究
题型一 列举法表示集合 例1 用列举法表示下列集合: (1)36与60的公约数组成的集合; (2)方程(x-4)2(x-2)=0的根组成的集合;
24
(3)一次函数y=x-1与y=-x+的图象的交点组成的集合.
33
y=x-1??
[分析] (1)(2)可直接求出相应元素,然后用列举法表示;(3)联立?24→求方程组
y=-x+?33?的解→写出交点坐标→用集合表示.
[解析] (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合为{1,2,3,4,6,12}. (2)方程(x-4)2(x-2)=0的根是4,2,所求集合为{2,4}.
???x-y=1
(3)方程组?的解是?2?2x+3y=4?y=?5
7
x=5
72
,所求集合为{(,)}.
55
[归纳提升] 1.用列举法表示集合,要注意是数集还是点集.
2.列举法适合表示有限集,当集合中元素个数较少时,用列举法表示集合比较方便,且使人一目了然.
因此,集合是有限集还是无限集,是选择恰当的表示方法的关键.
【对点练习】? 用列举法表示下列集合: (1)不大于10的非负偶数组成的集合; (2)方程x2=x的所有实数解组成的集合; (3)直线y=2x-3与y轴的交点所组成的集合.
[解析] (1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思.所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.
(2)方程x2=x的解是x=0或x=1,所以方程的解组成的集合为{0,1}.
(3)将x=0代入y=2x-3,得y=-3,即交点是(0,-3),故两直线的交点组成的集合是{(0,-3)}.
题型二 用描述法表示集合 例2 用描述法表示下列集合:
(1)所有不小于2,且不大于20的实数组成的集合; (2)平面直角坐标系内第二象限内的点组成的集合; (3)使y=2-x
有意义的实数x组成的集合; x
(4)200以内的正奇数组成的集合; (5)方程x2-5x-6=0的解组成的集合.
[分析] 用描述法表示集合时,关键要弄清元素的属性是什么,再给出其满足的性质,注意不要漏掉类似“x∈N”等条件.
[解析] (1)集合可表示为{x∈R|2≤x≤20}.
(2)第二象限内的点(x,y)满足x<0,且y>0,故集合可表示为{(x,y)|x<0,y>0}.
?2-x≥0
(3)要使该式有意义,需有?,
?x≠0
解得x≤2,且x≠0.故此集合可表示为{x|x≤2,且x≠0}. (4){x|x=2k+1,x<200,k∈N}. (5){x|x2-5x-6=0}.
[归纳提升] 用描述法表示集合应注意的问题
1.写清楚该集合中的代表元素,即弄清代表元素是数、点还是其他对象. 2.准确说明集合中元素所满足的特征.
3.所有描述的内容都要写在集合符号内,并且不能出现未被说明的符号.
4.用于描述的语句力求简明、准确,多层描述时,应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系.
【对点练习】? 用描述法表示下列集合: (1)大于4的全体奇数组成的集合;
(2)二次函数y=3x2-1图象上的所有点组成的集合; (3)所有的三角形组成的集合.
[解析] (1)奇数可表示为2k+1,k∈Z,又因为大于4,故k≥2,故可用描述法表示为{x|x=2k+1,k∈N,且k≥2}.
(2)点可用实数对表示,故可表示为{(x,y)|y=3x2-1}. (3){x|x是三角形}. 题型三 集合中的方程问题
例3 设y=x2-ax+b,A={x|y-x=0},B={x|y-ax=0},若A={-3,1},试用列举法表示集合B.
[分析] 集合A,B都表示关于x的一元二次方程的解集,而A已知,可根据根与系数的关系确定a和b的值,再解集合B中的方程,从而求出B中的元素. [解析] 集合A中的方程为x2-ax+b-x=0,整理得x2-(a+1)x+b=0. 因为A={-3,1},所以方程x2-(a+1)x+b=0的两根为-3,1.
???-3+1=a+1,?a=-3,
由根与系数的关系,得?解得?
?-3×1=b,???b=-3.
所以集合B中的方程为x2+6x-3=0, 解得x=-3±23,
所以B={-3-23,-3+23}.
[归纳提升] 集合与方程的综合问题的解题思路
(1)弄清方程与集合的关系,往往是用集合表示方程的解集,集合中的元素就是方程的根. (2)当方程中含有参数时,若方程是一元二次方程,则应综合应用一元二次方程的相关知识求解.若知道其解集,利用根与系数的关系,可快速求出参数的值(或参数之间的关系);若知道解集元素个数,利用判别式可求参数的取值范围.
【对点练习】? (1)已知集合A={x|x2-ax+b=0},若A={2,3},求a,b的值. (2)已知集合M={x|ax2-2x+2=0,a∈R}中至多有一个元素,求实数a的取值范围. [解析] (1)由A={2,3}知,方程x2-ax+b=0的两根为2,3,由根与系数的关系得
??2+3=a,
因此a=5,b=6. ?
??2×3=b,
(2)当a=0时,方程化为-2x+2=0,解得x=1,此时M={1},满足条件.
1
当a≠0时,方程为一元二次方程,由题意得Δ=4-8a≤0,即a≥,此时方程无实数根或21
有两个相等的实数根.综合(1)(2)可知,当a≥或a=0时,集合M中至多有一个元素.
2
误区警示
忽视集合中元素的互异性
例4 方程x2-(a+1)x+a=0的解集为__{1}(a=1)或{1,a}(a≠1)__.
[错解] x2-(a+1)x+a=0,即(x-a)(x-1)=0,所以方程的实数根为x=1或x=a,则方程的解集为{1,a}.
[错因分析] 错解中没有注意到字母a的取值带有不确定性,得到了错误答案{1,a}.事实上,当a=1时,不满足集合中元素的互异性.
[正解] x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解为x=1或x=a.
若a=1,则方程的解集为{1};若a≠1,则方程的解集为{1,a}.故填{1}(a=1)或{1,a}(a≠1). [方法点拨] 在刚学习集合的相关概念时,对含有参数的集合问题容易出错,尽管知道集合中元素是互异的,也不会写出{1,1}这种形式,但当字母a出现时,就会忽略a=1的情况,因此要重点注意.一定要记住:当集合中的元素用字母表示时,求出参数后一定要代入检验,确保集合中元素的互异性.
课堂检测·固双基
1.下列集合中,不同于另外三个集合的是( C ) A.{x|x=2 019} C.{x=2 019}
B.{y|(y-2 019)2=0} D.{2 019}
[解析] 选项A、B是集合的描述法表示,选项D是集合的列举法表示,且都表示集合中只有一个元素2 019,都是数集.而选项C它是由方程构成的集合,集合是列举法且只含有一个方程.
集合的表示讲义(新教材)
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