集合的表示
基础知识
知识点1 列举法
把集合的所有元素__一一列举__出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法． 思考1：哪些集合适合用列举法表示？ 提示：(1)含有有限个元素且个数较少的集合．
(2)元素较多，元素的排列又呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况下，也可列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如N可表示为{0,1,2，…，n，…}． (3)当集合所含元素不易表述时，用列举法表示方便．如集合{x2，x2＋y2，x3}． 知识点2 描述法
1．设A是一个集合，把集合A中所有具有__共同特征__P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}． 2．具体步骤：
(1)在花括号内写上表示这个集合的元素的一般符号及取值(或变化)范围． (2)画一条竖线．
(3)在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 思考2：什么类型的集合适合描述法表示？
提示：描述法可以看清集合的元素特征，一般含较多元素或无数多个元素(无限集)且排列无明显规律的集合，或者元素不能一一列举的集合，宜用描述法．
基础自测
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( × ) (2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( × )
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( √ ) 2．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为__{1,2,3,4}__.
??x＋y＝3，3．方程组?的解集可表示为__①②④__(填序号)．
?x－y＝－1?
????x＋y＝3，
①??x，y???
?x－y＝－1???
??； ?
??x＝1，??②??x，y???
?y＝2???
?
?； ?
③{1,2}；④{(x，y)|x＝1，y＝2}． 4．说明下列各集合的含义： 1y
A＝{y|y＝}；B＝{(x，y)|＝1}；
xx－3C＝{(0,1)}；D＝{x＋y＝1，x－y＝－1}．
[解析] A表示y的取值集合，由反比例函数的图象，知A＝{y∈R|y≠0}， B的代表元素是点(x，y)，其表示直线y＝x－3上除去点(3,0)外所有点组成的集合． C表示一个单元素集，元素是一个有序实数对(0,1)．
D表示以方程“x＋y＝1”和“x－y＝－1”为元素的一个二元素集．
题型探究
题型一 列举法表示集合 例1 用列举法表示下列集合： (1)36与60的公约数组成的集合； (2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根组成的集合；
24
(3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象的交点组成的集合．
33
y＝x－1??
[分析] (1)(2)可直接求出相应元素，然后用列举法表示；(3)联立?24→求方程组
y＝－x＋?33?的解→写出交点坐标→用集合表示．
[解析] (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}． (2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4,2，所求集合为{2,4}．
???x－y＝1
(3)方程组?的解是?2?2x＋3y＝4?y＝?5
7
x＝5
72
，所求集合为{(，)}．
55
[归纳提升] 1.用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．
2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．
因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．
【对点练习】? 用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合； (3)直线y＝2x－3与y轴的交点所组成的集合．
[解析] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思．所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．
(3)将x＝0代入y＝2x－3，得y＝－3，即交点是(0，－3)，故两直线的交点组成的集合是{(0，－3)}．
题型二 用描述法表示集合 例2 用描述法表示下列集合：
(1)所有不小于2，且不大于20的实数组成的集合； (2)平面直角坐标系内第二象限内的点组成的集合； (3)使y＝2－x
有意义的实数x组成的集合； x
(4)200以内的正奇数组成的集合； (5)方程x2－5x－6＝0的解组成的集合．
[分析] 用描述法表示集合时，关键要弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“x∈N”等条件．
[解析] (1)集合可表示为{x∈R|2≤x≤20}．
(2)第二象限内的点(x，y)满足x<0，且y>0，故集合可表示为{(x，y)|x<0，y>0}．
?2－x≥0
(3)要使该式有意义，需有?，
?x≠0
解得x≤2，且x≠0.故此集合可表示为{x|x≤2，且x≠0}． (4){x|x＝2k＋1，x<200，k∈N}． (5){x|x2－5x－6＝0}．
[归纳提升] 用描述法表示集合应注意的问题
1．写清楚该集合中的代表元素，即弄清代表元素是数、点还是其他对象． 2．准确说明集合中元素所满足的特征．
3．所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号．
4．用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系．
【对点练习】? 用描述法表示下列集合： (1)大于4的全体奇数组成的集合；
(2)二次函数y＝3x2－1图象上的所有点组成的集合； (3)所有的三角形组成的集合．
[解析] (1)奇数可表示为2k＋1，k∈Z，又因为大于4，故k≥2，故可用描述法表示为{x|x＝2k＋1，k∈N，且k≥2}．
(2)点可用实数对表示，故可表示为{(x，y)|y＝3x2－1}． (3){x|x是三角形}． 题型三 集合中的方程问题
例3 设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3,1}，试用列举法表示集合B．
[分析] 集合A，B都表示关于x的一元二次方程的解集，而A已知，可根据根与系数的关系确定a和b的值，再解集合B中的方程，从而求出B中的元素． [解析] 集合A中的方程为x2－ax＋b－x＝0，整理得x2－(a＋1)x＋b＝0. 因为A＝{－3,1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3,1.
???－3＋1＝a＋1，?a＝－3，
由根与系数的关系，得?解得?
?－3×1＝b，???b＝－3.
所以集合B中的方程为x2＋6x－3＝0， 解得x＝－3±23，
所以B＝{－3－23，－3＋23}．
[归纳提升] 集合与方程的综合问题的解题思路
(1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的根． (2)当方程中含有参数时，若方程是一元二次方程，则应综合应用一元二次方程的相关知识求解．若知道其解集，利用根与系数的关系，可快速求出参数的值(或参数之间的关系)；若知道解集元素个数，利用判别式可求参数的取值范围．
【对点练习】? (1)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值． (2)已知集合M＝{x|ax2－2x＋2＝0，a∈R}中至多有一个元素，求实数a的取值范围． [解析] (1)由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得
??2＋3＝a，
因此a＝5，b＝6. ?
??2×3＝b，
(2)当a＝0时，方程化为－2x＋2＝0，解得x＝1，此时M＝{1}，满足条件．
1
当a≠0时，方程为一元二次方程，由题意得Δ＝4－8a≤0，即a≥，此时方程无实数根或21
有两个相等的实数根．综合(1)(2)可知，当a≥或a＝0时，集合M中至多有一个元素．
2
误区警示
忽视集合中元素的互异性
例4 方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集为__{1}(a＝1)或{1，a}(a≠1)__.
[错解] x2－(a＋1)x＋a＝0，即(x－a)(x－1)＝0，所以方程的实数根为x＝1或x＝a，则方程的解集为{1，a}．
[错因分析] 错解中没有注意到字母a的取值带有不确定性，得到了错误答案{1，a}．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性．
[正解] x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为x＝1或x＝a.
若a＝1，则方程的解集为{1}；若a≠1，则方程的解集为{1，a}．故填{1}(a＝1)或{1，a}(a≠1)． [方法点拨] 在刚学习集合的相关概念时，对含有参数的集合问题容易出错，尽管知道集合中元素是互异的，也不会写出{1,1}这种形式，但当字母a出现时，就会忽略a＝1的情况，因此要重点注意．一定要记住：当集合中的元素用字母表示时，求出参数后一定要代入检验，确保集合中元素的互异性．
课堂检测·固双基
1．下列集合中，不同于另外三个集合的是( C ) A．{x|x＝2 019} C．{x＝2 019}
B．{y|(y－2 019)2＝0} D．{2 019}
[解析] 选项A、B是集合的描述法表示，选项D是集合的列举法表示，且都表示集合中只有一个元素2 019，都是数集．而选项C它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程．
集合的表示讲义(新教材)
