第二章 不 等 式
§2.1 不等式的基本性质
【知识要点】 1．不等关系
两个数量之间的不等关系可以用不等式来表示，即
a>b? a-b>0； a=b? a-b=0； a 两个实数或代数式的大小比较可以用作差比较法． 2．不等式的基本性质 性质1 如果a >b，那么a+c>b+c． 性质2 如果a >b ，c>0, 那么ac >bc． 性质3 如果a >b ，c<0, 那么ac 1．用符号“< ”或“ > ”填空： 7834（1） ； （2） ； （3）a+1 a-1． 4511112．已知a < b，用用符号“< ”或“ > ”填空： （1）3a 3b； （2）a+4 b+4； （3）-3．若a < b，则 3( a - b ) 0． 4ab ?． 444．不等式2x>- 4的解集是（ ）． A．{x| x>2} B．{x| x>-2} C．{x| x<2} D． {x| x<-2} 5．下列不等式中一定成立的是（ ）． A．x>0 B．|x|>0 C．x2>0 D．x2≥0 【能力训练】 1．若x>y，则ax > ay，那么a一定 是（ ）． A．a > 0 B． a < 0 C．a ≥ 0 D．a ≤ 0 2．比较下列各组中两个代数式的大小： （1）x4+2x2+1，x4+2x2 +3 （2）(x + 1)( x + 5)，(x + 3)2； 6 3．设a>0，b>0，比较a2-ab+b2与ab的大小． §2.2 区间 【知识要点】 1． 区间 区间是指一定范围内的所有实数所构成的集合，也就是数轴上某一“段”所有的点所对应的所有实数． 2．各区间的定义、名称、符号及在数轴上的表示法见下表（a，b?R，且a 1．用区间表示下列数集： （1）{x| x<-1}= ；（2）{x| -2< x≤8}= ； 7 （3）{x| 1≤ x≤5}= ；（4）{x| x≥2}= 。 2．用集合的描述法表示下列区间： （1）(-?，-1]= ；（2）[-5，2) = 。 （3）(3，+?)= ；（4）(-1，4)= 。 3．集合{x| -1< x<3}用区间表示正确的是（ ）。 A．(-1，3) B．[-1，3) C．(-1，3] D．[-1，3] 4．区间（-?，2]用集合描述法可表示为（ ）。 A．{x| x<2} B．{x | x ≤2} C．{ x | x >2} D．{ x | x≥2} 【能力训练】 1．已知集合A=[-1，1]，B=(-2，0)，则A∩B=（ ）。 A．(-1，0) B．(-2，1] C．(-2，1) D． [-1，0) 2．已知集合A=(-?，3)，集合B=[-4，+?)，求A∩B，A∪B． 3．解下列不等式组，用区间表示解集： （1）? （3）??x?5?x?3 （4）? x?2x??2???x?2?x??3 （2）? ?x??1?x?1 §2.3 一元二次不等式 【知识要点】 1．一元二次不等式 形如ax2+bx+c>0（≥0）或ax2+bx+c<0（≤ 0）的不等式（其中a≠0），叫做一元二次不等式。 2．一元二次不等式的解 满足一元二次不等式的未知数的取值范围，叫做这个不等式的解集。 3．一元二次不等式的解法 二次函数y = ax2+bx+c（a > 0）的图像与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c = 0的解．函 8 数y = ax2+ bx + c（a > 0）的图像在x轴上方（下方）的部分所对应的自变量x 的取值范围，即为一元二次不等式ax2+ bx+ c > 0（< 0）（a > 0）的解集． 具体结论如下：（a>0） 判别式△=b2-4ac 一元二次方程 ax+ bx + c=0的根 2△>0 有两相异实数解 x1，x2（x1 22(-?，x1)∪(x2，+?) (??，-bb)?(?) 2a2aR (x1，x2) ? ? 1．观察函数y = x2 - x - 2的图像（如图）．当 时，y = 0； 当 时，y > 0；当 时，y <0． 2．不等式 x2 - x - 2 > 0的解集为 ；不等式 x2 - x - 2 < 0的解集 ；不等式 x2 - x - 2 ≥ 0的解集为 ；不等式 x2 - x - 2 ≤ 0的解集 ． 3．不等式x2-3x<18的解集是 ． 4．不等式x2 -2x +3 > 0的解集是（ ）． A．? B．R C．{x|-1 A．{ x | x≥0} B．{x | x ≤ -2} C．{x| -2≤ x≤0} D．{x | x≥0或x ≤ -2} 6．不等式(x +2)( x -3)>0的解集是（ ）． A．{x| x >3} B．{x|x<-2}?xx?-2? C．{x|-2 (1) -x2+2x-8>0 (2) x2+4x+4≤0 9 y -1 O 2 x 第1题图 (3) x2+x+1>0 (4) x2+2x+3<0． 2．m为什么实数时，方程x2-mx+1=0：⑴ 有两个不相等的实数根；⑵ 没有实数根？ 3．某商场一天内销售某种电器的数量x（台）与利润y（元）之间满足关系：y=-10x2+500x。如果这家商场计划在一天销售该种电器的利润在6000元以上，那么一天内大约应销售该种电器多少台？ §2.4 含绝对值的不等式 【知识要点】 1．绝对值的几何意义 实数a的绝对值| a |的几何意义是| a |为数轴上与实数a对应的点到原点的距离． 2．绝对值不等式的解集 不等式| x |< a（a > 0）的解集是(- a ，a)，数轴表示为： -a 0 a x 不等式| x |> a（a > 0）的解集是(-?，-a)∪(a，+?)，数轴表示为： 【基础训练】 -a 0 a x 1．不等式| x |<3的解集为 ；不等式| x |≥2的解集为 ． 10
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