教学目标
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成： A B A B A B （其中符号 “ ”读作“并”，相当于中文 “和”或者 “或”的意思；符号 “ 读作 “交”，相当于中文 “且”的意思． ）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下 : A表示小圆 部分， B表示大圆部分， C表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积．图示如下 : A表示小圆 部分， B表示大圆部分， C表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积．
ABAB 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合
A、B的并集 A B 的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合 A、B的元素个数，然后加起来，即先1求 A B （意思A是B把 A、B 的一切元素都 “包含”进
来，加在一起 ）； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C A B （意思是 “排除 ”了重复计算的元素个数 ）．
、三量重叠问题
A类、 B 类与 C 类元素个数的总和 A类元素的个数 B类元素个数 C 类元素个数 既是 A类又是 B类
ABC 3
的元素个数 既是 B类又是 C类的元素个数 既是 A类又是 C类的元素个数 同时是 A类、 B类、 C类的元
素个数．用符号表示A B C A B C A B B C A C A B C ．图示如下：
为：
ABC
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图 （韦恩图 ）来帮助分析思考．
例题精讲
模块一、三量重叠问题
例 1】 一栋居民楼里的住户每户都订了 2 份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报 纸，其
中甲报 30 份，乙报 34 份，丙报 40份，那么既订乙报又订丙报的有 __________________ 户。 考点】三量重叠问题 【难度】 3 星 【题型】填空 关键词】希望杯， 4 年级， 1 试
解析】 总共有（ 30＋ 34＋ 40） 2＝52 户居民，订丙和乙的有 52－30＝22 户。 答案】 22 户
例 2】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有 有 26 人，手中有蓝旗的共有 18人．其中手中有红、黄、蓝三34人，手中有黄旗的共 6人．而手中只有红、黄 蓝两种小旗的有 种小旗的有 两种小旗的有 9 人，4 人，手中只有红、蓝两种小旗的有 3人，那么 手中只有黄、 这个班共有多少人？ 考点】三量重叠问题 【难度】 3 星
B圆表示手中有黄旗的， C 圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有 发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，
34 26 18）（9 4 3）
解析】 如图，用 A 圆表示手中有红旗的， 红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加， 手中有三种颜色小旗的重复计
算了二次，也应减去，那么，全班人数为： 6 2 50（ 人 ）．
答案】 50人
巩固】 某班有 42人，其中 26人爱打篮球， 17人爱打排球， 19人爱踢足球， 9 人既爱打篮球又爱踢足球，
4 人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打 篮球又爱打排球的有几人？ 考点】三量重叠问题
【难度】 3 星 【题型】解答
解析】 由 于全班 42人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有 42人．根据包含排除法，
42 （26 17 19）（9 4 既爱打篮球又爱打排球的人数 ） 0 ，得到既爱打篮球又爱打排球的人数 为： 49 42 7 （人）．
答案】 7 人
例 3】 四年级一班有 46 名学生参加 3 项课外活动． 其中有 24 人参加了数学小组， 20 人参加了语文小组，
参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的 3．5 倍，又是 3 项活动都参加人数 的 7 倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于 3 项都参加的人数的 2 倍，既参加数学小 组又参加语文小组的有 10 人．求参加文艺小组的人数． 考点】三量重叠问题 【难度】 3 星 【题型】解答
解析】 设 参加数学小组的学生组成集合 A，参加语文小组的学生组成集合 B，参加文艺小组的学生组成集
合 G．三者都参加的学生有 z人．有 A B C =46， A =24，B =20，C =3.5， A C =7 A B C ， B C =2 A B C ， A B =10 ．
因为 A B C A B C A B A C B C A B C ， 所以 46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得 x=3，
即三者的都参加的有 3 人．那么参加文艺小组的有 3 7=21 人．
答案】 21 人
巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有 25 人参加自然兴趣小组， 35 人参加美术
兴趣小组， 27人参加语文兴趣小组， 参加语文同时又参加美术兴趣小组的有 12 人， 参加自然同时又参加美术兴趣小组的有 8 人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有 9 人， 语文、美术、自然 3 科兴趣小组都参加的有 4 人．求这个班的学生人数． 考点】三量重叠问题
【难度】 3 星 【题型】解答
解析】 设 参加自然兴趣小组的人组成集合 A，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人
组成集合 C．
A=25， B=35，C=27， B C =12， A B =8， A C =9， A B C = A B C A B A C B C A B C .
A B C =4.
所以，这个班中至少参加一项活动的人有 25+35+27-12-8-9+4=62 ，而这个班每人至少参加一项．即 这个班有 62 人．
答案】 62 人
巩固】 光明小学组织棋类比赛， 分成围棋、 中国象棋和国际象棋三个组进行， 参加围棋比赛的有 42人， 参加
中国象棋比赛的有 55人，参加国际象棋比赛的有 33 人，同时参加了围棋和中国象棋比赛 的有 18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有 10 人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛 的有 9 人，其中三种棋赛都参加的有 5 人，问参加棋类比赛的共有多少人？ 考点】三量重叠问题 【难度】 3 星 【题型】解答
解析】 根据包含排除法， 先把参加围棋比赛的 42人，参加中国象棋比赛的 55 人与参加国际象棋比赛的 33人
加起来，共是 42 55 33 130 人．把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的
18人，同时参加围棋
和国际象棋的 10人与同时参加中国象棋和国际象棋的 9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的 5 人 被加了 3 次，又被减了 3 次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有： 130 （18 10 9） 5 98（人）．
或者根据学过的公式： A B C A B C A B B C A C A B C ，参加棋类比赛的总 人数为： 42 55 33 18 10 9 5 98 （人）．
答案】 98人
例 4】 新年联欢会上，共有 90 人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍 于只参
加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少 7 人；只参加演奏的比同时参 加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多 4 人；50 人没有参加演奏； 10 人同时参加了跳舞和合唱但没 有参加演奏； 40 人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有 __________ 人． 考点】三量重叠问题 【难度】 3 星 【题型】填空 关键词】西城实验
解析】设只参加合唱的有 x 人，那么只参加跳舞的人数为 3x，由 50人没有参加演奏、 10人同时参加了跳
小学奥数容斥原理之重叠问题(二)精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)
