高考导数压轴题题型 李远敬整理 2024.4.11
一．求函数的单调区间，函数的单调性
1.【2012新课标】21. 已知函数f(x)满足满足f(x)?f?(1)ex?1?f(0)x?（1）求f(x)的解析式及单调区间；
【解析】
12x； 212x?f?(x)?f?(1)ex?1?f(0)?x 21令x?1得：f(0)?1 f(x)?f?(1)ex?1?x?x2?f(0)?f?(1)e?1?1?f?(1)?e
21得：f(x)?ex?x?x2?g(x)?f?(x)?ex?1?x
2g?(x)?ex?1?0?y?g(x)在x?R上单调递增 f?(x)?0?f?(0)?x?0,f?(x)?0?f?(0)?x?0
（1）f(x)?f?(1)ex?1?f(0)x?得：f(x)的解析式为f(x)?ex?x?12x 2且单调递增区间为(0,??)，单调递减区间为(??,0) 2.【2013新课标2】21．已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)． (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； 【解析】
1. 由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1. x?m1于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ex?.
x?11函数f′(x)＝ex?在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0.
x?1(1)f′(x)＝ex?因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增． 3.【2014新课标2】21. 已知函数f?x?=ex?e?x?2x （1）讨论f?x?的单调性； 【解析】 （1）增
+
-2≥0，等号仅当x=0时成立，所以f（x）在（—∞，+∞）单调递
【2015新课标2】21. 设函数f(x)=emx+x2-mx。
（1）证明： f(x)在 (-￥,0)单调递减，在 (0,+￥)单调递增；
（2）若对于任意x1,x2?[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|￡e-1，求m的取值范围。
word.
4.【2017新课标1】21. 已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x。
word.
（1）讨论f(x)的单调性； 【解析】
（1）f(x)的定义域为(??,??)，f?(x)?2ae2x?(a?2)ex?1?(aex?1)(2ex?1)， （ⅰ）若a?0，则f?(x)?0，所以f(x)在(??,??)单调递减. （ⅱ）若a?0，则由f?(x)?0得x??lna.
当x?(??,?lna)时，f?(x)?0；当x?(?lna,??)时，f?(x)?0，所以f(x)在
(??,?lna)单调递减，在(?lna,??)单调递增.
二．由函数不等式，求参数或参数的取值范围或参数的最值
5.【2017新课标2】21. 已知函数f(x)?ax3?ax?xlnx,且f(x)?0。
（1）求a； 【解析】
（1）因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0）， 则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，
因为h′（x）=a﹣，且当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0， 所以h（x）min=h（），又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；
6.【2017新课标3】21. 已知函数f(x)?x?1?alnx． （1）若f(x)≥0，求a的值；
【解析】
ax?a（1） f(x)?x?1?alnx，x?0，则f?(x)?1??，且f(1)?0
xx当a≤0时，f??x??0，f?x?在?0，???上单调增，所以0?x?1时，f?x??0，不满足
题意；
当a?0时，当0?x?a时，f?(x)?0，则f(x)在(0,a)上单调递减；当x?a时，f?(x)?0，则f(x)在(a,??)上单调递增。
①若a?1，f(x)在(a,1)上单调递增∴当x?(a,1)时f(x)?f(1)?0矛盾 ②若a?1，f(x)在(1,a)上单调递减∴当x?(1,a)时f(x)?f(1)?0矛盾
③若a?1，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增∴f(x)≥f(1)?0满足题意 综上所述a?1。
7.【2011新课标】21. 已知函数f(x)?线方程为x?2y?3?0。 （1）求a、b的值；
（2）如果当x?0，且x?1时，f(x)?【解析】
alnxb?，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切x?1xlnxk?，求k的取值范围。 x?1xword.
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