“人算”不如“机算”
——例谈科学计算器在几何解题中的应用
《数理天地》初中版2006年第1期上刊载了天津余凤冈老师的一篇题为《构造正三角形 巧解几何问题》的文章.文中列举了六个几何问题，而这六个几何问题对于初中生来说都是具有相当大的难度的，余老师通过在每个图形中构造出一个正三角形的手段，从而使每个问题都被巧妙的解决了.笔者读罢此文，可以说是喜忧参半，喜的是这种巧解既解决了问题，又让学生领略了数学之美，忧的是这种构造（其中每个图形都添加了不少于三条辅助线）并不是每个学生都能学会且运用自如的.试想一下，如果把题目中设计好的各项数值稍加改动一下，那么这种“巧解”可能立即失效，甚至一题也解不出来！
于是，读者容易想到：除了原文中的这种构造解法以外，还有没有更通用、更常规一点的解法呢？当然有，这就是我们初三同学学过的解直角三角形的办法，只不过是在解题时我们的手上多了一只科学计算器而已.以下笔者还是以余老师文中的几个问题为例来说说这种“机算”的方法吧.
例1 如图1，已知在?ABC中，AB?AC，?BAC?20?， A在AB上取AD?BC，求?ACD的度数.
解 过C点作CE?AB，垂足为E，设AD?BC?1.
D∵AB?AC，?BAC?20?， ∴?ABC?80?.
在Rt?BEC中，EC?BC?sinB?1?sin80??sin80?.
在Rt?AEC中，AE?EC?cotA?sin80??cot20??sin80??tan70?. ∴DE?AE?AD?sin80??tan70??1.
∴tan?EDC?ECsin80?. ?DEsin80??tan70??1EB图 1C现在，拿出我们的科学计算器，开始运算，按键顺序为（以中学生 常用的双行显示的科学计算器为例）：sin、80、÷ 、（ 、
sin 、80、×、tan、70、－、 1 、 ） 、﹦、2ndf、tan、﹦. 计算器显示的结果为：30.
即?EDC?30?，所以?ACD??EDC??BAC?30??20??10?. 例2 如图2, 已知在?ABC,AB?AC，?BAC?100?, 延长AB到D，设AD?BC，连接DC，求?ACD的度数. 解 过C点作CE?AD，垂足为E，设AB?AC?1.
∵AB?AC，?BAC?100?，
∴?ABC??ACB?40?，?ACE?10?. 在Rt?AEC中，
EC?AC?cos?ACE?1?cos10??cos10?， D
EABC图 21
AE?AC?sin?ACE?1?sin10??sin10?.
ECcos10???AD .
sin?EBCsin40?cos10?∴DE?AD?AE??sin10?.
sin40?cos10??sin10?DEsin40?1∴tan?DCE????tan10?.
CEcos10?sin40?在Rt?BEC中，BC?下面用科学计算器进行运算，按键顺序为： 1 、÷ 、sin、40 、 + 、tan、10 、
﹦、2ndf、tan、﹦. 计算器显示的结果为：60.
即?DCE?60?，所以?ACD??DCE??ACE?60??10??50? 例3 如图3，已知在?ABC中，AB?AC，?BAC?80?， P为?ABC内一点，?PBC?10?，?ACP?20?， 求?APB的度数.
解 延长CP交AB于D.
DA∵ ?ACD?20?，?DAC?80?，∴ ?ADC?80?. ∴ ?ADC??DAC，∴ AC?CD. 设AD?1，BD?x，则CD?AC?AB?x?1. 又∵?ABP??ABC??PBC?50??10??40?， P?DPB??ADP??ABP?80??40??40?， BC∴ DB?DP?x. ∴ PC?CD?DP?1?AD. 图 3事实上，这里的?ACD与线段AP组成的图形完全等价于例1中 的图形，于是由例1 的结论可得?APD?30?，
∴?APB??APD??DPB?30??40??70?.
例4 如图4，已知在四边形ABCD中，?ABD?12?，?DBC?36?，?ACB?48?， ?ACD?24?，求?ADB的度数.
解 过A点作AF?BD，垂足为F，过A点作AE?BC，垂足为E. ∵ ?ABC??ABD??DBC?12??36??48? , 又∵ ?ACB?48?， ∴AB?AC.
而?BDC?180???DBC??DCB?180??36???48??24???72? ∴?BDC??BCD?72?，
∴BC?BD. 于是可设AB?AC?1. 在Rt?ABE中，
AFD BE?AB?cos?ABE?1?cos48??cos48?. ∴BC?BD?2cos48?. 在Rt?ABF中，
BE图 4C2
BF?AB?cos?ABF?1?cos12??cos12?. AF?AB?sin?ABF?1?sin12??sin12?. ∴FD?BD?BF?2cos48??cos12?.
AFsin12?在Rt?AFD中，tan?ADF?. ?FD2cos48??cos12?下面用科学计算器进行运算，按键顺序为：sin、 12 、÷ （ 、 2 、cos、 48 、
- 、cos、12 、） 、﹦、2ndf、tan、﹦. 计算器显示的结果为：30. 即 ?ADB?30?.
例5 如图5，已知在四边形ABCD中，?ABD??ADB?15?，?CBD?45?， ?CDB?30?.求证?ABC是等边三角形.
解 过A点作AF?BD，垂足为F，
A过C点作CE?BD，垂足为E.
F可设AB?AD?1. EB则AF?sin15?,BD?2DF?2cos15?. 再设BE?x，则EC?BE?x.
又DE?3EC?3x，而BE?ED?BD， ∴3x?x?2cos15?， ∴x?C图 5PD2cos15??3?1?3?1cos15?.
?PFAF， ?PEECPF?PEAF?ECEFAF?EC∴ ，即， ??PEECPEEC又有AF∥EC，∴ ∴ PE?EF?EC?BF?BE??EC?.
AF?ECAF?ECPEBF?BEcos15??∴tan?PCE???ECAF?ECsin15????? 3?1?cos15?3?1cos15? ?1??3?1tan15????3?1??2?3.
tan15??3?13
例谈科学计算器在几何解题中的应用-
