人教版高中数学选修1-1课时作业
1.4.1 全称量词
1.4.2 存在量词
一、基础过关 1．下列命题：
①中国公民都有受教育的权利； ②每一个中学生都要接受爱国主义教育； ③有人既能写小说，也能搞发明创造； ④任何一个数除0，都等于0. 其中全称命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] C
[解析] 命题①②④都是全称命题． 2．下列特称命题是假命题的是( ) A．存在x∈Q，使2x－x3＝0 B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C．有的素数是偶数 D．有的有理数没有倒数 [答案] B
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[解析] 对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0恒成立．
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3．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数
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x，x>0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数．下列说法正确的是( ) A．四个命题都是真命题 B．①②是全称命题 C．②③是特称命题
D．四个命题中有两个假命题 [答案] C
[解析] ①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题． 4．下列全称命题中真命题的个数为( ) ①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab； ③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点； ④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0. A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] C
[解析] ①②③为真命题．
5．下列全称命题为真命题的是( ) A．所有的素数是奇数 B．?x∈R，x2＋3≥3 C．?x∈R,2x1＝0 D．所有的平行向量都相等 [答案] B
6．已知p：?x∈R，mx2＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为________ [答案] [2，＋∞)
[解析] 依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得
－
?m≥0
，即m≥2. ?
m≤－2或m≥2?
7．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假． (1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1； (2)存在一条直线，其斜率不存在；
(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；
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(4)存在实数x0，使得2＝2.
x0－x0＋1
解 (1)是全称命题，用符号表示为“?α∈R，sin2α＋cos2α＝1”，是真命题． (2)是特称命题，用符号表示为“?直线l，l的斜率不存在”，是真命题．
(3)是全称命题，用符号表示为“?a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题． 1
(4)是特称命题，用符号表示为“?x0∈R，2＝2”，是假命题．
x0－x0＋1二、能力提升
8．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________． [答案] (－∞，3]
[解析] 对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3. 9．给出下列四个命题：
①a⊥b?a·b＝0；②矩形都不是梯形； ③?x，y∈R，x2＋y2≤1；
④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1. 其中全称命题是________． [答案] ①②④
[解析] ①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”．
10．四个命题：①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________． [答案] 0
[解析] x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0， ∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立， ∴①为假命题．
当且仅当x＝±2时，x2＝2， ∴不存在x∈Q，使得x2＝2， ∴②为假命题，
对?x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题， 4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．
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人教版高中数学选修1-1课时作业 ∴①②③④均为假命题．
11．已知命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：?x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围． 解 ?x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2， 当x∈[1,2]时恒成立，∴a≤1. ?x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0， 即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根， ∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0.∴a≤－2或a≥1.
??a≤1，又p∧q为真，故p、q都为真，∴?
??a≤－2或a≥1，
∴a≤－2或a＝1.
12．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由； (2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．
解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4. (2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．
若存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min. 又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，即得m>4. 故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)． 三、探究与拓展
13．若?x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围． 解 ①当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；
②当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．
又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，
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人教版高中数学选修1-1课时作业 解得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R； 当m≠0时，a∈[－1,1].
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高中数学选修1-1课时作业1：1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词
