??4，x≥0，
【例3－2】 (1)(2020·包头模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝?a－x若f(1－a)＝f(a?2，x<0，?
x－1)，则a的值为______.
?1?－7，x<0，
??(2)设函数f(x)＝?2?若f(a)<1，则实数a的取值范围是________.
x，x≥0，
1－a?
??x解析 (1)当a<1时，4
11
＝2，解得a＝；
2
1
当a>1时，代入不成立.故a的值为. 2
?1?(2)当a<0时，原不等式化为??－7<1， ?2?
则2<8，解得a>－3，所以－3 答案 (1) (2)(－3，1) 2规律方法 (1)af(x) －aa＝ag(x) (a>0且a≠1)?f(x)＝g(x).(2)af(x) >ag(x) ，当a>1时，等价于 f(x)>g(x)；当0 转化为求有关函数的最值问题. 角度3 指数函数性质的综合应用 【例3－3】 (1)若存在正数x使2(x－a)<1成立，则a的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) C.(0，＋∞) 2xx xB.(－2，＋∞) D.(－1，＋∞) (2)如果函数y＝a＋2a－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________. ?1?x解析 (1)不等式2(x－a)<1可变形为x－a 由图可知，－a<1，所以a>－1. xxx (2)令a＝t，则y＝a＋2a－1＝t＋2t－1＝(t＋1)－2.当a>1时，因为x∈[－1，1]，所以 x2xx22 ????t∈?，a?，又函数y＝(t＋1)2－2在?，a?上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a?a??a??1?又函数y＝(t＋1)2－2在?a，1?＝3(负值舍去).当0 a? 11 ?a? 11?1?上单调递增，则ymax＝?＋1?－2＝14，解得a＝(负值舍去).综上，a＝3或a＝. 33?a?1 答案 (1)D (2)3或 3 规律方法 求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论. 【训练3】 (1)(角度1)已知a＝2，b＝0.4，c＝0.4，则( ) A.a>b>c C.c>a>b a0.2 0.2 0.6 2 B.a>c>b D.b>c>a b－b－a(2)(角度2)(2020·安徽江南名校联考)若e＋π≥e＋π，则有( ) A.a＋b≤0 C.a－b≤0 2 B.a－b≥0 D.a＋b≥0 xx(3)(角度3)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m－m)·4－2<0恒成立，则实数m的取值范围是________. (4)(角度3)已知函数f(x)＝b·a(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)， x?1??1?B(3，24).若不等式??＋??－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________. ?a? ?b? 解析 (1)因为a＝2>1，b＝0.4<1，c＝0.4<1，所以a>b，a>c.又y＝0.4是以0.4为底的指数函数，且在R上单调递减，所以0.4>0.4，即b>c，所以a>b>c. (2)令f(x)＝e－π，则f(x)在R上是增函数， 由e＋π≥e＋π，得e－π≥e－π， 则f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，则a＋b≥0. ab－b－a0.2 0.6 0.2 0.2 0.6 xxxx－xa－a－bb?1?2 (3)原不等式变形为m－m ?2? ?1??1??1?因为函数y＝??在(－∞，－1]上是减函数，所以??≥??＝2. ?2??2??2??1?22 当x∈(－∞，－1]时，m－m ?2? ???6＝ab，?a＝2，?(4)把A(1，6)，B(3，24)代入f(x)＝b·a，得结合a>0，且a≠1，解得?3?24＝b·a，?b＝3，?? xxxx－1 x?1??1?x所以f(x)＝3·2.要使??＋??≥m在区间(－∞，1]上恒成立， ?2??3? ?1??1??1??1?只需保证函数y＝??＋??在区间(－∞，1]上的最小值不小于m即可.因为函数y＝??＋???2??3??2??3? xxxxxx55?1??1?在区间(－∞，1]上为减函数，所以当x＝1时，y＝??＋??有最小值.所以只需m≤即可. 66?2??3? xx5 所以m的最大值为. 6 5 答案 (1)A (2)D (3)(－1，2) (4) 6 A级 基础巩固 一、选择题 1.(2019·永州模拟)下列函数中，与函数y＝2－2( ) A.y＝sin x B.y＝x 3 x－x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是 ?1?C.y＝?? ?2? x－xx D.y＝log2x 解析 y＝2－2是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数.y＝sin x不是单调递增函数，不符合题意； y＝??是非奇非偶函数，不符合题意； 2y＝log2x的定义域是(0，＋∞)，不符合题意； y＝x3是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数，符合题意. 答案 B 2.函数f(x)＝ax－1 ?1??? x(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是( ) B.y＝|x－2| D.y＝log2(2x) A.y＝1－x C.y＝2－1 x解析 f(x)过定点A(1，1)，将点A(1，1)代入四个选项，y＝1－x的图象不过点A(1，1). 答案 A 3.(2020·西安调研)已知0 baabA.b aB.a xxaC.a bD.b b解析 ∵0 又y＝x在(0，＋∞)上递增，∴a>b. 综上，a最大. 答案 C 4.在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( ) bbbbbaab 解析 设原有荒漠化土地面积为b，经过x年后荒漠化面积为z，则z＝b(1＋10.4%)，故y＝＝(1＋10.4%)，其是底数大于1的指数函数.其图象应为选项D. 答案 D 5.若函数f(x)＝aA.(－∞，2] C.[－2，＋∞) |2x－4| xzbx1 (a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( ) 9 B.[2，＋∞) D.(－∞，－2] 112 解析 由f(1)＝，得a＝， 99 11?1?所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝??33?3? |2x－4| . 由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减.
2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第5节指数与指数函数教学案含解析新人教A版
