第5节 指数与指数函数
考试要求 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，11
会画底数为2，3，10，，的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
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知 识 梳 理
1.根式的概念及性质
(1)概念：式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：(a)＝a(a使a有意义)；当n为奇数时，a＝a，当n为偶数时，a＝|a|＝
??a，a≥0，? ?－a，a<0.?
nnnnnnnn2.分数指数幂
m规定：正数的正分数指数幂的意义是an＝a(a>0，m，n∈N，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是an＝n－
nm*
m1(a>0，m，n∈N，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没
*
am有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：aa＝arsr＋s；(a)＝a；(ab)＝ab，其中a>0，b>0，r，s∈R.
rsrsrrr4.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝a(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，
xa是底数.
(2)指数函数的图象与性质 a>1 0 1??x1.画指数函数y＝a(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，?－1，?. 当x>0时，0 2.指数函数y＝a(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0 3.在第一象限内，指数函数y＝a(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大. 诊 断 自 测 xx 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)（－4）＝－4.( ) m4 4 (2)分数指数幂an可以理解为个a相乘.( ) (3)函数y＝2(4)函数y＝ax－1 mn是指数函数.( ) (a>1)的值域是(0，＋∞).( ) 4 4 4 x＋1 2 解析 (1)由于（－4）＝4＝4，故(1)错. (2)当<1时，不可以，故(2)错. (3)由于指数函数解析式为y＝a(a＞0，且a≠1)， 故y＝2 x－1 x4 mn不是指数函数，故(3)错. 2 (4)由于x＋1≥1，又a＞1，∴ax＋1≥a. 故y＝ax＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2 2 ?1?x2.(老教材必修1P56例6改编)若函数f(x)＝a(a>0，且a≠1)的图象经过?2，?，则f(－1) ?3? ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.3 132 解析 依题意可知a＝，解得a＝， 33所以f(x)＝?答案 C 3.(新教材必修第一册P119习题4.2T6改编)设a＝0.6，b＝0.6，c＝1.5，则a，b，c的大小关系是( ) A.a x0.6 1.5 0.6 ?3??3? ?，所以f(－1)＝??＝3. ?3??3? x－1 B.a 1.5 0.6 0 0.6 解析 根据指数函数y＝0.6在R上单调递减可得0.6<0.6<0.6＝1，而c＝1.5>1，∴b ?1?x4.(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3－??，则f(x)( ) ?3? A.是偶函数，且在R上是增函数 B.是奇函数，且在R上是增函数 C.是偶函数，且在R上是减函数 D.是奇函数，且在R上是减函数 解析 函数f(x)的定义域为R， xf(－x)＝3－x－??＝??－3x＝－f(x)， ?3??3? ∴函数f(x)是奇函数. ?1? －x?1? x?1?x又y＝3在R上是增函数，函数y＝－??在R上是增函数， ?3??1?x∴函数f(x)＝3－??在R上是增函数. ?3? 答案 B 5.(2024·河南名校联盟调研)函数f(x)＝a的坐标为______. 解析 令x－2 020＝0，得x＝2 020，则y＝2 021， 故点A的坐标为(2 020，2 021). 答案 (2 020，2 021) x－2 020 xx＋2 020(a>0且a≠1)的图象过定点A，则点A
2024届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第5节指数与指数函数教学案含解析新人教A版
