第5节 指数与指数函数
考试要求 1.了解指数函数模型的实际背景;2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,11
会画底数为2,3,10,,的指数函数的图象;4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
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知 识 梳 理
1.根式的概念及性质
(1)概念:式子a叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.
(2)性质:(a)=a(a使a有意义);当n为奇数时,a=a,当n为偶数时,a=|a|=
??a,a≥0,? ?-a,a<0.?
nnnnnnnn2.分数指数幂
m规定:正数的正分数指数幂的意义是an=a(a>0,m,n∈N,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是an=n-
nm*
m1(a>0,m,n∈N,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没
*
am有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质:aa=arsr+s;(a)=a;(ab)=ab,其中a>0,b>0,r,s∈R.
rsrsrrr4.指数函数及其性质
(1)概念:函数y=a(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,函数的定义域是R,
xa是底数.
(2)指数函数的图象与性质 a>1 00时,y>1; 性质 当x<0时,0 1??x1.画指数函数y=a(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),?-1,?. 当x>0时,0 2.指数函数y=a(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0 3.在第一象限内,指数函数y=a(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大. 诊 断 自 测 xx 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)(-4)=-4.( ) m4 4 (2)分数指数幂an可以理解为个a相乘.( ) (3)函数y=2(4)函数y=ax-1 mn是指数函数.( ) (a>1)的值域是(0,+∞).( ) 4 4 4 x+1 2 解析 (1)由于(-4)=4=4,故(1)错. (2)当<1时,不可以,故(2)错. (3)由于指数函数解析式为y=a(a>0,且a≠1), 故y=2 x-1 x4 mn不是指数函数,故(3)错. 2 (4)由于x+1≥1,又a>1,∴ax+1≥a. 故y=ax+1(a>1)的值域是[a,+∞),(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2 2 ?1?x2.(老教材必修1P56例6改编)若函数f(x)=a(a>0,且a≠1)的图象经过?2,?,则f(-1) ?3? =( ) A.1 B.2 C.3 D.3 132 解析 依题意可知a=,解得a=, 33所以f(x)=?答案 C 3.(新教材必修第一册P119习题4.2T6改编)设a=0.6,b=0.6,c=1.5,则a,b,c的大小关系是( ) A.a x0.6 1.5 0.6 ?3??3? ?,所以f(-1)=??=3. ?3??3? x-1 B.a 1.5 0.6 0 0.6 解析 根据指数函数y=0.6在R上单调递减可得0.6<0.6<0.6=1,而c=1.5>1,∴b ?1?x4.(2017·北京卷)已知函数f(x)=3-??,则f(x)( ) ?3? A.是偶函数,且在R上是增函数 B.是奇函数,且在R上是增函数 C.是偶函数,且在R上是减函数 D.是奇函数,且在R上是减函数 解析 函数f(x)的定义域为R, xf(-x)=3-x-??=??-3x=-f(x), ?3??3? ∴函数f(x)是奇函数. ?1? -x?1? x?1?x又y=3在R上是增函数,函数y=-??在R上是增函数, ?3??1?x∴函数f(x)=3-??在R上是增函数. ?3? 答案 B 5.(2020·河南名校联盟调研)函数f(x)=a的坐标为______. 解析 令x-2 020=0,得x=2 020,则y=2 021, 故点A的坐标为(2 020,2 021). 答案 (2 020,2 021) x-2 020 xx+2 020(a>0且a≠1)的图象过定点A,则点A
2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第5节指数与指数函数教学案含解析新人教A版
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