机械动力学第四章作业
(答案)
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4-1 如图所示，一质量为 m 的油缸与刚度为 k 的弹簧相连，通过阻尼系数为 c 的粘性阻尼器以运动规律y?Asin?t的活塞给予激励，求油缸运动的振幅以及它相对于活塞的相位。
解：mx?c(x?y)?kx?0
mx?cx?kx?Ac?cos?t X????cA?(k?m?)?(c?)222
?2
?tan?1c?k?m?2
详解(1):因为活塞本身在作谐运动, 并通过粘性摩擦作用于油缸。
所以可建立运动微分方程为 x mx?c(x?y)?kx?0
或 mx?cx?kx?cy
设活塞运动为: y?ImAei?t 则 y?i?Aei?t
令油缸的运动，即其振动微分方程的解为x?Xei(?t??) 代入微分方程得(?m?2X?ic?X?kX)ei(?t??)?ic?Aei(?t??)
?x?Xei(?t??)ic?Aei?t? 2(k?m?)?ic?振幅?X?c?A(k?m?)?(c?)222?2A??(1??)?(2??)222
油缸相对活塞运动的相位角:
??
?2?tan?1c???12?? ??tan22k?m?21??c?
k?m?2（x滞后于激励cy相位差?1?tan?1 y滞后于cy相位差?2??2，所以x与y的相位差???2-?1）
2
解法（2): 矢量法
(kX?m?2X)2?(c?X)2?(c?A)2
振幅?X? c?A(k?m?)?(c?)222
及 x?Xei(?t??)
???2?tan?1c???12?? ??tan22k?m?21??
4-2 试导出图所示系统的振动微分方程，并求系统的稳态响应。
mL2mgLkAcos?t 解：2??c??(k?2)??aaa稳态响应
??其中
F0kAacos(?t??)?cos(?t??)? 2222k(ka?mgL)(1??)?(2??)?n??a2c2??a2kg????Φ?arctan ??n1??2 mL2L2Lm(ka2?mgL)3
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