题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 评阅人 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 1． 由曲线r?2cos?所围成的图形的面积是
2?。
2． 设由方程xy?2所确定的隐函数为y?y(x)，则dy?2?ydx2x。
3． 函数y?sin2x的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为x?114x?o(x4)。 34．
?x1?x20dx?1。
???5． 函数y?x?2cosx在区间?0，?上的最大值为
?2??6?3。
n?n?6． lim?22?22n??n?1n?2?得分 ?n??=
n2?n2??4。
评阅人 二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分）
1?cosx?xsin,x?01.设f(x)??，则x?0是f(x)的D。 x??x2?1,x?0?A．可去间断点 B．跳跃间断点 C．振荡间断点 D．连续点 2.设f(x)?2x?3x?2，则当x?0时，下列结论正确的是B。
A．f(x)与x是等价无穷小 B．f(x)与x同阶但非等价无穷小 C．f(x)是比x高阶的无穷小 D．f(x)是比x低阶的无穷小 3.
???1dxxx2?1?C。
A．不存在 B．0 C．? D．?
2f??(x)??1，则下列叙述正确的是 4.设f(x)具有二阶连续导数，且f?(0)?0，limx?0A 。
A．f(0)是f(x)的极大值 B．f(0)是f(x)的极小值 C．f(0)不是f(x)的极值 D．f(0)是f(x)的最小值 5.曲线y??x??2costdt的全长为D。
A．1 B．2 C．3 D．4
6.当a,b为何值时，点(1,3)为曲线y?ax?bx的拐点？A。 A．a??323939，b?B.a?，b?? 22223939，b??D.a?，b? 2222C．a???x7.曲线y?x?2的凸区间为 D。
A.(??,?得分 2222)B.(?,??)C.(,??)D.(??,) ln2ln2ln2ln2评阅人 三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分，第
6~7题每小题8分，共46分）
121解：令t?,x原式?lim?cost?t
t?0?et?0?e?12limlncostt2(0型)0（3分）
（6分）
?x?ln(1?t2)d2y所确定,求2。 2.设函数y?y(x)由参数方程?dx?y?t?arctant解：
dyd(t?arctant)??2dxd[ln(1?t)]1?11?t2?t，（3分） 2t21?t2?dy?td??d()2111d2ydx1?t??2??????．（6分） 2dx22tdtdxdx4t1?t2dtxex3.?xdx． 2(e?1)解：原式??xd(1?ex?1)（2分） x1=?x??xdx e?1e?1x11=?x??(x?x)dex e?1ee?1xex=?x?lnx?C（6分） e?1e?1xxdx
解：令x?t(t?0)，则x?t，dx?2tdt（2分）
24.求
?401?22t2t1dx?2tdt?2dt?2(t?1?)dt?01?x?01?t?01?t?0t?1（6分） 4x2t2?2[?t?ln1?t]?2ln3205.设曲线f(x)?xn在(1,1)处的切线与x轴的交点为(xn,0)，求lim(xn)n。
n??2解：
f?(1)?nxn?1x?1?n，所以f(x)在点(1,1)处的切线方程为：
y?n(x?1)?1……..(*)(2分)
由题意知切线(*)与x轴的交点为(xn,0)，
1即0?n(xn?1)?1?xn?1?(5分)
n从而可得：
1lim(xn)n?lim(1?)n＝e?1．(6分) n??n??n6.设连续函数f(x)满足f(x)?f(?x)?sinx，求积分I?2解：方程两端同乘sinx并从?2??2??2f(x)sin2xdx．
?积分到?，得： 22又??2??2f(?x)sinxdx令t??x2?22???22?f(t)sin(?t)(?dt)?????2??2f(t)sin2tdt（5分）
由(*)得：I??21f(x)sinxdx??2I4?1?2?3?1???3?．(8分)
242221627.设
f(x)连续，F(x)??f(tx)dt，且lim0x?01f(x)?A（A为常数），求xdF(x)x。
解：由limf(x)?A知：f(0)?0。
x?0xdu?t:0?1，du?xdt?dt? 令u?tx，则?x?u:0?x?1x?f(u)du,x?0(4分) 可见：F(x)??x?0?x?0?0,当x?0时，F?(x)??1x2?x0f(u)du?1f(x)?xxf(x)??f(u)du0xx2；(6分)
当x?0时，F?(0)?limF(?x)?F(0)
?x?0?x?xf(x)?xf(u)du?0?,x?0．(8分) 2所以：F?(x)??x??A,x?0??2得分 评阅人 四、应用题（共1小题，每小题9分，共9分）
2设直线y?ax(0?a?1)与抛物线y?x所围成的图形为D1，它们与直线x?1所围
成的图形为D2，若D1、D2同时绕x轴旋转一周得到一旋y转体，试确定a的值，使该旋转体的体积最小． y?x2D2y?axD1Oa1x?a?x?1?0?x?a解：∵D1:?2，D2:? 2ax?y?xx?y?ax??∴V(a)?V1?V2????a0?a2x2?x4dx????1a?x4?a2x2dx
?4?5?2?a?a?……………..(5分) 15351dV(a)4?42?由?a?a，令dV(a)?0得：a?3．………….(7分)
33da2da2d又由V(a)da21a?3216?12?6??16?32????a??????0 ?13?a?3233?332可见：当a?得分 1时，该旋转体的体积最小．………………..(9分) 32评阅人 五、证明题（共1小题，每小题6分，共6分）
设函数f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，且f?(x)?0，试证存在?,??(a,b)，使得
f?(?)eb?ea??e??
f?(?)b?a证明：设g(x)?ex，则
f(b)?f(a)f?(?)f(b)?f(a)f?(?)??.………………..（3分） ?，即bag(b)?g(a)g?(?)e?ee又因为存在??(a,b),使得
f(b)?f(a)?(b?a)f?(?),……………………..（4分） (b?a)f?(?)f?(?)??，即结论成立. ………………..（6分） 所以
eb?eae
高等数学试卷附答案
