18.（12分）
已知三棱锥M-ABC中，MA=MB=MC=AC=22，AB=BC=2，O为AC的中点，点N在校BC上，且BN?（1）证明：BO?平面AMC； （2）求二面角N-AM-C的正弦值.
M2BC. 3AONB
C【解析】（I）如图所示：连接OM，
在?ABC中：AB?BC?2,AC?22，则?ABC?90?,BO?2，OB?AC.2分
在?MAC中：MA?MC?AC?22，O为AC的中点，则OM?AC，且
OM在?MOB中：BO??6. ……4分
2,OM?6,MB?22，满足：BO2?OM2?MB2
根据勾股定理逆定理得到OB?OM AC,OM相交于O ， 故OB?平面AMC………………….6分
（Ⅱ）因为OB,OC,OM两两垂直，建立空间直角坐标系因为MA?MB?MC?AC?22,AB?BC?2
则A(0,?2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),M(0,0,6)……8分
如图所示．
uuur2uuur222由BN?BC所以，N(,,0)
333
ur设平面MAN的法向量为m?(x,y,z)，则uuu?rr252252,0)?(x,y,z)?x?y?0,?AN?n?(, 3333?uuuurr?AM?n?(0,2,6)?(x,y,z)?2y?6z?0?ur令y?3，得m?(?53,3,?1)……10分
uuur因为BO?平面AMC，所以OB?(2,0,0)为平面AMC的法向量，
uruuuururuuur?56?53所以m?(?53,3,?1)与OB?(2,0,0)所成角的余弦为cos?m,OB??． ?79279uruuuur?5322279所以二面角的正弦值为|sin?m,OB?|?1?(.……12分 )??79797919.（12分）
y2x22已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的离心率为，且过点C(1,0).
ab2（1）求椭圆E的方程；
（2）若过点(?1,0)的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证，恒有|AB|?2|CM|. 【解析】（I）由题意知b?1，又因为a2?b2?c2解得，a?c2.……1分 ?a22. ……3分
y2?x2?1. ……4分 所以椭圆方程为2（Ⅱ） 设过点(?,0)直线为x?ty?131，设A?x1,y1?，B?x2,y2? 31?x?ty???322由?2得9?18ty?12ty?16?0，且???. ?y?x2?1??2??则
12t?y?y?,2??19?18t2??6分??yy??16,12?9?18t2?
uuuruuur又因为CA??x1?1,y1?，CB??x2?1,y2?，
uuuruuur4??4?416?CA?CB?(x1?1)(x2?1)?y1y2??ty1???ty2???y1y2??1?t2?y1y2?t?y1?y2??3??3?39?
??1?t2?uuur?164t12t16????0，……10分
9?18t239?18t29uuur所以CA?CB.
因为线段AB的中点为M，所以|AB|?2|CM|.……12分 20.（12）
水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0 某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放 现有以下四种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：四个样本混在一起化验. 化验次数的期望值越小，则方案越\优\（1）若p?22，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率； 322，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优\？②若“方3（2）①若p?案三”比“方案四\更“优”，求p的取值范围. 【解析】(I)该混合样本达标的概率是(2228)?，……2分 39所以根据对立事件原理，不达标的概率为1?81?.……4分 99(II)（i）方案一：逐个检测，检测次数为4. 方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为 8；若不达标则检测次数为93，概率为 1.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6. 9 其分布列如下， ?2 p 2 4 6 1 8164 8116 81可求得方案二的期望为E(?2)?2?6416119822?4??6???818181819 方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5. 其分布列如下， ?4p 可求得方案四的期望为E(?4)?1?1 5 17 8164 816417149?5??. 818181比较可得E(?4)?E(?2)?4，故选择方案四最“优”．……9分 (ii)方案三：设化验次数为?3，?3可取2,5. ?3 2 p E(?3)?2p3?5(1?p3)?5?3p3； 方案四：设化验次数为?4，?4可取1,5 5 1?p3p3?4p E(?4)?p4?5(1?p4)?5?4p4； 1 p45 1?p4由题意得E(?3)?E(?4)?5?3p?5?4p?p?故当0?p?343. 43时，方案三比方案四更“优”．……12分 421.（12分） ex已知函数f(x)?x?lnx?. x（1）求f(x)的最大值； 1（2）若f(x)?(x?)ex?bx?1恒成立，求实数b的取值范围. x ex【解析】(I)f(x)?x?lnx?，定义域(0,??)， x1ex(x?1)(x?1)(x?ex)， f?(x)?1???xx2x2由ex?x?1?x，f(x)在(0,1]增，在(1,??)减，f(x)max?f(1)?1?e……4分 ee1?xex??bx?1 (II)f(x)?(x?)ex?bx?1??lnx?x?xxxxxxe?lnx?1?xxe?lnx?1?xx??b?()min?b,……6分 ??lnx?x?xe?bx?1?0xxxxxex?lnx?1?xx2ex?lnx令?(x)?，??(x)?xx 令h(x)?x2ex?lnx，h(x)在(0,??)单调递增，x?0,h(x)???，h(1)?e?0 2xh(x)在(0,1)存在零点x0，即h(x0)?x0e0?lnx0?0 x02ex0?lnx0?0?x0ex0??由于y?lnx01?(ln)(ex0x0ln1x0)……9分 xex在(0,??)单调递增，故x0?ln11??lnx0,即ex0?x0x0 ?(x)在(0,x0)减，在(x0,??)增，?(x)min所以b?2.……12分 x0ex0?lnx0?1?x01?x0?1?x0???2x0x0 （二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） ?x?acos?3在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P(1,)，其参数方程?（?为参数），以原 y?3sin?2?点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线E的极坐标方程； （2）若直线l交E于点A，B，且OA?OB，求证： 11为定值，并求出这个定值. ?|OA|2|OB|2【解析】(I)将点P(1,)代入曲线E的方程， 32
河南省郑州市2020届高三上学期第一次质量预测试题理（数学）
