§4.2 换元积分法（第二类）
Ⅰ 授课题目（章节）：
§4.2 换元积分法 （第二类换元积分法）
Ⅱ 教学目的与要求：
1.了解第二类换元法的基本思想
2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点：
重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容：
第一类换元积分法的思想是：在求积分g(x)dx时
? 如果函数g(x)可以化为f[?(x)]??(x)的
形式 那么
?g(x)dx??f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x)?F(u)?C?F[?(x)]?C
u??(x)?f(u)du
所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如f[?(x)]??(x)函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x??(t)将无理函数f(x)的积分
?a2?x2dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学
?f(x)dx化为
??(t)的积分有理式f[?(t)]?f[?(t)]??(t)dt。即
?f[?(t)]??(t)dt??(t)?C,
?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt
??(t)有原函数?(t)，则若上面的等式右端的被积函数f[?(t)]?1然后再把?(t)中的t还原成?(x)，所以需要一开始的变量代换x??(t)有反函数。
定理2 设x??(t)是单调、可导的函数，且??(t)?0，又设f[?(t)]??(t)有原函数?(t)，则
?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt??(t)?C??[??1(x)]?C
分析 要证明
?f(x)dx??[??1(x)]?C，只要证明?[??1(x)]的导数为f(x)，
dd?dtdt?[??1(x)]?? ， ?? dxdtdxdx编辑版word
证明 ?x??(t)单调、可导，?x??(t)存在反函数t???1(x)，且
dt11?? dxdx??(t)dtQdd?dt1?[??1(x)]???f[?(t)]??(t)?f(x) dxdtdx??(t)??[??1(x)]是f(x)是一个原函数?f(x)dx??[??1(x)]?C.
第二换元法，常用于如下基本类型 类型1：被积函数中含有
a2?x2（a?0）,可令x?asint（并约定t?(???,)）则
22a2?x2?acost，dx?acostdx，可将原积分化作三角有理函数的积分.
例1 求
?a2?x2dx
(a?0)
解 令x?asint ，t?(???,)，则a2?x2?acost dx?acostdt 222??11a2a2a?xdx??acostacostdt?a?(?cos2t)dt?t?sin2t?C
222422a2a2a2xx2?t?sintcost?C?arcsin?a?x2?C. 222a2借助下面的辅助三角形把sint，cost用x表示.
例2 求
?x24?x2dx
解 令x?2sint，t?(???,)，则4?x2?2cost，dx?2costdt
22??4sin2t1?cos2tdx???2costdt=?4dt 22cost24?xx2=?(2?2cos2t)dt?2t?sin2t?C ?2t?2sintcost?C?2arcsinxx?4?x2?C 22编辑版word
类型2：被积函数中含有a2?x2(a?0)可令 x?atant 并约定t?(???,)，则22a2?x2?asect；dx?asec2tdt ；可将原积分化为三角有理函数的积分.
例3 求
?dxx?a22
(a?0)
解 令x?atant，t?(???,)，则x2?a2?asect，dx?asec2tdt 22??dxx?a22??sectdt?lnsect?tant?C
?lnx2?a2x??C?lnx?x2?a2?C1. aa
例4 求
?xdx24?x2
解 令x?2tant，t?(???,)，则4?x2?2sect，dx?2sec2tdt
221costsin2tcos2t??dxx22sec2t1sect1??dt?dt?4tan2t?2sect4?tan2t4?4?x2dt
1cost111114?x2??2dt??2dsint????C????C 4sint4sint4sint4x例5求
dx?(x2?9)2 （分母是二次质因式的平方）
222解 令x?3tant，则x?9?9sect， dx?3sectdt
dx3sec2t12?dt?cos?(x2?9)2?81sec4t27?tdt
1t1t1(1?cos2t)dt??cos2tdt??cos2td2t ???545454542?54t1t1??sin2t??sintcost?C 542?545454?编辑版word
?1x13xarctan??2?C 54354x?9
练习： 求
1?(x2?2x?5)2dx（第二换元积分法分）
2222解 (x?2x?5)?[2?(x?1)]，令x?1?2tant
2t?(???,)则 22
dx2sec2t1t1?dt?(1?cos2t)dt??sintcost?C?(x2?2x?5)2?24sec4t16?1616?1x?11x?1arctan??2?C 1628x?2x?5类型3 被积分函数中含有x2?a2 (a?0) ，当x?a时，可令x?asect，并约定
t?(0,)，则x2?a2?atant，dx?asecttantdt，当x??a时，可令u??x，则u?a，可2将原积分化为三角有理函数的积分。
例6 求
??dxx?a22
(a?0)
解 被积函数的定义域为(??,?a)?(a,??)， 当x?(a,??)时，令x?asect，t?(0,则
?2)，
x2?a2?atant，dx?asecttantdt有
?dxx?a22??asecttantdt??sectdt
atant
xx2?a2?ln(sect?tant)?C?ln(?)?C?ln(x?x2?a2)?C1.
aa当x?(??,?a)时，令x??u，则u?(a,??)有
?dxx?a22???duu?a22??ln(u?u2?a2)?C1??ln(?x?x2?a2)?C1
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?ln1?x?x?a22?C1?ln?x?x2?a2(?x?x?a)(?x?x?a)2222?C1?x?x2?a2222?ln?C?ln(?x?x?a)?(C?lna) 112a?ln(?x?x2?a2)?C2
?x?(??,?a)?(a,??)时，?例7 求
dxx2?a2?lnx?x2?a2?C
?xdx2x?12
解 x?(1,??)时，令x?sect,t?(0,?2)则x2?1?tant,dx?secttantdt，有
?xdx2secttant??dt??costdt?sint?C?22secttantx?1x2?1?C， x
x?(??,1)时，令u??x，则u?(1,??)有
?xdx2x?12???duu2u2?1???C?2uu?1dxx2x2?1?C x?无论x??1或x?1均有?x?12?x2?1?C x注意：(1)以上三种三角代换，目的是将无理式的不定积分化为三角有理函数的不定积分
(2)在利用第二类换元积分法时将积分的结果还原为x的函数时，常常用到同角三角函数的关系，一种较简单和直接的方法是作“辅助三角形”
(3)在既可用第一换元法也可用第二换元法的时候，用第一换元法就使计算更为简洁.
例8 求
?xdxx?a22
(a?0)
解法一（用第一换元法）
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换元积分法(第二类换元法)
