第一讲：质点的圆周运动、
【知识要点】
1、质点的圆周运动：
做圆周运动的质点，速度不仅大小可以变化，方向也在不断变化，如图所示，质点在沿圆周由A到B的过程中，其速度的增量
△v2 △v △v1 ?v??v1??v2。其瞬时加速度：
B A ?v?v???a?lim1?lim2?an?a?
?t?0?t?t?0?tv2上式中，an为法向加速度，它描述速度方向的变化快慢，大小为an?；a?为切向
R加速度，它描述速度大小的变化快慢。对匀速圆周运动而言，a?=0，而对一般曲线运动，
an?
v2?，式中?为质点所在位置的曲线的曲率半径。
【例题1】如图所示，小球P与穿过光滑水平板中央小孔的轻绳相连，用手拉着绳子另一端使P在水平板内绕O作半径为a、角速度为ω的匀速圆周运动，求：（1）若将绳子从这个状态迅速放松，后又拉直，使P绕O作半径为b的圆周运动，从放松到拉直经过多少时间？（2）P作半径为b的圆周运动的角速度为多大？ O P
F
【例题2】某飞轮转速为600r/min，制动后转过10圈而静止。设制动过程中飞轮做匀变速转动。试求制动过程中飞轮角加速度及经过的时间。
【例题3】如图所示，有一个绕着线的线轴放在水平桌面上，线轴可在桌面上做无滑动的滚动。线轴轮和轴的半径分别为R和r，如果以不变的速度v水平向右拉动线头，求线轴运动的速度。
R
O 1
v
【练习】
1、在平直轨道上匀速行驶的火车，机车主动轮的转速是车厢从动轮转速的3/5，主动轮轮缘上的各点的向心加速度与从动轮轮缘上各点的向心加速度分别为a1，a2，求a1/a2的值。
2、机械手表中分针与秒针可视为匀速转动，两针从重合到再次重合，中间经历的时间为多少分钟？
3、如图所示，定滑轮半径为r=2cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物的加速度a=2m/s2，在重物下落1m瞬间，滑轮边缘上的点角速度为多大？向心加速度为多大？
4、边长为a的正三角形板的水平面内朝一个方向不停地作无滑动的翻滚，每次翻滚都是绕着一个顶点（如图中的A点）转动，转动角速度为ω常量。当一条边（例如AB边）触地时又会立即绕着另一个顶点（如B点）继续作上述转动。
（1）写出（不必写推导过程，以下各问相同）三角板每顶点的平均速率； （2）画出图中三角板的顶点C在T=2π/ω时间内的运动轨道。
B
ω
A C
5、如图所示，AC、BD两杆以匀角速度ω分别绕相距为L的A、B两固定轴沿图示方向在同一竖直面上转动。小环M套在两杆上，t=0时图中α=β=60°，试求在以后的任意时刻（M未落地前的时刻）M运动的速度大小和加速度大小。
D C
M
ω
ω A B
6、xy平面上有一圆心在坐标原点、半径为R的圆，在y轴上放有一细杆。从t=0开始，整根杆朝x轴正方向以v0的速度匀速运动，试求在细杆尚未离开圆周前它与圆周在第Ⅰ象限的交点沿圆周移动的向心加速度与时间的关系。
y
O x
2
7、如图所示，细杆长为L，它的端点A被约束在竖垂轴y上运动，端点B被约束在水平轴x上运动。 （1）试求杆上与A端相距aL（0＜a＜1)的P点的运动轨迹；
（2）若AB杆处于圆中θ角方位时，A端竖直向下的速度为vA，试确定P点的分运动的速度vPx和vPy. y A vA P θ
L
B x O
8、在暗室里，一台双叶电扇（如图A）绕O轴顺时针方向转动，转速为50r/min，在闪光照射下。 （1）出现了稳定的如图B所示的图
象，则闪光灯的频率（每秒闪光次数）的最大值是 次/秒。 （2）若出现了如图C所示的图象，即双
叶片缓慢地逆时针转动，这时闪光灯的频率略大于 次/秒。
（a） （b） （c）
第二讲：力和曲线运动
【知识要点】
1、物体做曲线运动的条件：
合外力F的方向与物体速度v的方向不在同一直线上。 2、恒力作用下的曲线运动
物体在恒力的作用下做曲线运动时，往往将这种曲线运动分解为两个方向上的直线运动。一种分解方法是沿初速度方向和合外力方向进行分解，可以分解为初速度方向的匀速直线运动和合外力方向的匀加速直线运动；另一种分解方法是沿着两个互相垂直的方向进行分解。
3、力和圆周运动
力是使物体的速度发生改变的原因，速度有大小和方向的变化，在速度方向上的外力改变速度的大小，而与速度方向垂直的外力改变速度的方向。在圆周运动中，是将物体所受的外力沿切向和法向进行分解，在切向上的外力改变速度的大小，而法向上的外力改变速度的方向（即向心力）。高中阶段对圆周运动的分析关键是找出向心力的来源。向心力是做圆周运动的物体在指向圆心方向外力的合力，它是以力的作用效果来命名的，可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或这些力的合力。匀速圆周运动的向 心力的计算公式是：F合?ma向v24?22?m?mR??m2R?m?4?2n2R
RT 3
对于变速圆周运动，上述计算向心力的公式也适用，只是使用公式时必须用物体的瞬时速度代入计算。 4、天体运动
（1）天体的运动遵循开普勒三定律
第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个焦点上。
第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。即：vrsin??常数 式中r为太阳和行星连线的距离，θ为行星的速度与太阳和行星连线之间的夹角。
第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相
r3GM等。即：2? 式中M为太阳质量，G为引力常量。
T4?2实际上，在某一中心天体的引力作用下，绕中心天体运动的物体，都遵循以上三定律，
只需将太阳变为中心天体即可。
（2）天体运动的向心力是靠万有引力提供的
万有引力定律：①（内容略）；②公式：F?Gm1m2 2r注意：万有引力定律公式只适用于两个质点或者是两个质量均匀分布的球体之间的万有引力的计算。但当两个物体之间的距离远大于它们自身的线度时，可以将这两个物体当作两个质点。另外，质量均匀分布的球面对球面外质点的引力等同于把球面的质量集中于球心处的质点与球外质点的引力，而质量均匀分布的球面对球面内质点的引力等于零。 【例题1】 2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α=40°，已知地球半径为R，地球自转周期为T，地球表面重力加速度为g（视为常量）和光速c。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）。
【例题2】 如图所示，一条不可伸长的轻绳长为L，一端用手握住，另一端系一质量为m的小球，今使手握的一端在水平桌面上做半径为R、角速度为ω的匀速圆周运动，且使绳始终与半径为R的圆相切，小球也将在同一水平面内做匀速圆周运动，小球和水平面之间有摩擦，求：（1）小球做匀速度圆周运动的线速度大小。（2）手对细绳做功的功率。（3）小球在运动过程中所受到的摩擦阻力的大小。 ω R O
L m
4
【例题3】 某行星A自转周期为T，绕恒星B公转周期为3T，自转和公转方向如图所示，若在行星A表面看恒星B，看到B绕A转动的周期为多少？
【练习】1、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径A A球质量为m1，B大得多）。在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。B 球质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度为v0。设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R，v0应满足什么关系？
2、长为L=0.4m的细绳，一端连接在O点的光滑轴上，另一端系一质量为m=0.5kg的小球，小球在竖直面内做圆周运动，如图所示，求：
A （1）若球刚好能做圆周运动，在最高点A的速度为多大？
（2）将图中细绳换成不计重力的细杆，小球能做圆周运动，在A点的速度应满足什么条件？ O （3）在上问中，小球在A点时，若杆对小球的作用力是拉力或推力，则在A点的速度分别满足什么条件？
B （4）若小球以0.4m/s的速度绕O点做匀速圆周运动，那么小球在最高点A和最低点B时杆对小球的作用力各是多大？（取g=10m/s2）
3、在光滑的水平面内，一质量m=1kg的质点以速度v0=10m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向的恒力F=5N作用，直线OA与x轴成37°角，如图所示，求：（1）如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，则质点从O到P点所经历的时间以及P点的坐标。（2）质点经过P点时的速度。 y P A
F
37° O v0 x
4、如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面起动后，以加速度g/2竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为起动前压力的17/18，已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度。（g为地面附近的重力加速度）
5、一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ=30°，如图所示，一条长度为L的细绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可视为质点）。物体以速率v绕圆 锥体的轴线做水平面上的匀速圆周运动。（1）当v?（2）当v?gL6时，求绳对物体的拉力。
O L θ 3gL2时，求绳对物体的拉力。
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高一第二学期培优教案
