第二篇 函数及其性质 专题2.05 指数与指数函数
【考试要求】
1.通过对有理数指数幂an(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质； 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 【知识梳理】 1.根式
n
(1)概念：式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：(a)n＝a(a使a有意义)；当n为奇数时，an＝a，当n为偶数时，2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是an＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a
－
m
nnnn
??a，a≥0，
an＝|a|＝?
?－a，a<0.?
m
n
m
n＝
1
n
(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
am
＋
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ars；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质
a>1 0 1 当x>0时，y>1； 当x<0时，y>1； 当x<0时，0 1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，??－1，1a??. 2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) 4 (1)（－4）4＝－4.( ) (2)(－1)21 4＝(－1)2＝－1.( ) (3)函数y＝2x－1 是指数函数.( ) (4)函数y＝ax 2＋1 (a>1)的值域是(0，＋∞).( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 4 【解析】 (1)由于 （－4）4＝ 4 44＝4，故(1)错. 2 4 (2)(－1)4＝（－1）2＝1，故(2)错. (3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)， 故y＝2x －1 不是指数函数，故(3)错. (4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a. 故y＝ax 2＋1 (a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错. 【教材衍化】 2.(必修1P56例6改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过??2，1 3??， 则f(－1)＝( ) A.1 B.2 C.3 D.3 【答案】 C 【解析】 依题意可知a2＝13 3，解得a＝3 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 x －1 所以f(x)＝? 3?3 ，所以f(－1)＝??＝3. ?3??3? 3.(必修1P59A6改编)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为( ) A.y＝a(1＋p%)x(0 D.y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N) 【答案】 B 【解析】 设年产量经过x年增加到y件，则第一年为y＝a(1＋p%)，第二年为y＝a(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)2，第三年为y＝a(1＋p%)(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)3，…，则y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m且x∈N). 【真题体验】 4.(2024·晋中八校一模)设a>0，将a2a·a21 5 7 3 3 表示成分数指数幂，其结果是( ) A.a2 【答案】 C 【解析】 由题意得 B.a6 C.a6 D.a2 a2 3 ＝a2 －－ 112 3＝a6. 7 a·a21?5.(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－??3?，则f(x)( ) A.是偶函数，且在R上是增函数 B.是奇函数，且在R上是增函数 C.是偶函数，且在R上是减函数 D.是奇函数，且在R上是减函数 【答案】 B 【解析】 函数f(x)的定义域为R， 1?－?1?－3x＝－f(x)， f(－x)＝3x－?＝?3??3?∴函数f(x)是奇函数. 1?又y＝3x在R上是增函数，函数y＝??3?在R上是减函数， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 x －x x x
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