第3讲 计数原理与二项式定理
课后自测诊断——及时查漏补缺·备考不留死角
1?n?1．记?2x＋?的展开式中第m项的系数为bm.
?x?
(1)求bm的表达式；
(2)若n＝6，求展开式中的常数项； (3)若b3＝2b4，求n.
1?n??1?m－1n＋1－m·Cm－1·xn＋2－2m， m－1n－m＋1
解：(1)?2x＋?的展开式中第m项为Cn·(2x)·??＝2n?x??x?
所以bm＝2
n＋1－m·Cn.
m－1
1?n??1?r6－rr6－2rr6－r(2)当n＝6时，?2x＋?的展开式的通项为Tr＋1＝C6·(2x)·??＝2·C6·x.
?x??x?
依题意，6－2r＝0，得r＝3，
故展开式中的常数项为T4＝2·C6＝160. (3)由(1)及已知b3＝2b4，得2
n－23
3
·Cn＝2·2
2n－3
·Cn，从而Cn＝Cn，即n＝5.
2
10
2
323
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n＋1.等式(x＋2x＋2)＝b0＋b1(x＋1)＋b2(x＋1)＋…＋b20(x＋1)，其中bi(i＝0,1,2，…，20)为实常数．
1020
(1)求?b2n的值；
n＝1
10
(2)求?anb2n的值．
n＝1
解：法一：(1)令x＝－1，得b0＝1，
令x＝0，得b0＋b1＋b2＋…＋b20＝2＝1 024，
令x＝－2，得b0－b1＋b2－b3＋…－b19＋b20＝2＝1 024，
10
10
10
所以?b2n＝b2＋b4＋b6＋…＋b20＝1 023.
n＝1
(2)对等式两边求导，得
20(x＋1)(x＋2x＋2)＝b1＋2b2(x＋1)＋3b3(x＋1)＋…＋20b20(x＋1)， 令x＝0，得b1＋2b2＋…＋20b20＝20×2＝10 240，
令x＝－2，得b1－2b2＋3b3－4b4＋…＋19b19－20b20＝－20×2＝－10 240， 1
所以?nb2n＝(2b2＋4b4＋6b6＋…＋20b20)＝5 120.
2n＝1
10
9
9
2
9
2
19
10101010
所以?anb2n＝? (n＋1)b2n＝?nb2n＋?b2n＝5 120＋1 023＝6 143.
n＝1
n＝1
n＝1
n＝1
法二：由二项式定理易知 (x＋2x＋2)＝[1＋(x＋1)]
＝C10＋C10(x＋1)＋C10(x＋1)＋…＋C10(x＋1) ＝b0＋b1(x＋1)＋b2(x＋1)＋…＋b20(x＋1)， 比较可知b2n＝C10(n＝1,2，…，10)．
10
2
20
0
1
2
2
4
10
20
2
10
210
n(1)?b2n＝C10＋C10＋…＋C10＝2－1＝1 023.
1
2
10
10
n＝1
(2)因为an＝n＋1,
10
10
10
10
所以?anb2n＝? (n＋1)C10＝?nC10＋?C10，
nnnn＝1
n＝1
n＝1
n＝1
10
设T＝?nC10＝0·C10＋1·C10＋2·C10＋…＋10·C10，T也可以写成
n0
1
2
10
n＝1
10
0
T＝?nCn10＝0·C1010＋1·C910＋2·C810＋…＋10·C10，
n＝1
相加得2T＝10·2，即T＝5·2，
10
10
10
1010
所以?anb2n＝?nC10＋?C10＝5·2＋2－1＝6 143.
nn10
10
n＝1n＝1n＝1
3．(1)阅读以下案例，利用此案例的想法化简C3C4＋C3C4＋C3C4＋C3C4. 【案例】考察恒等式(1＋x)＝(1＋x)(x＋1)左右两边x的系数． 因为右边(1＋x)(x＋1)＝(C2＋C2x＋C2x)(C3x＋C3x＋C3x＋C3)， 所以右边x的系数为C2C3＋C2C3＋C2C3，而左边x的系数为C5， 所以C2C3＋C2C3＋C2C3＝C5.
n01
12
23
2
2
01
12
23
2
2
2
3
0
1
22
03
12
2
3
5
2
3
2
01122334
(2)求证：? (r＋1)(Cn)－nC2n－2＝(n＋1)C2n.
2
r22n－1nr＝0
解：(1)考察恒等式(1＋x)＝(1＋x)(x＋1)左右两边x的系数．
因为右边(1＋x)(x＋1)＝(C3＋C3x＋C3x＋C3x)·(C4x＋C4x＋C4x＋C4x＋C4)， 所以右边x的系数为C3C4＋C3C4＋C3C4＋C3C4， 而左边x的系数为C7， 所以C3C4＋C3C4＋C3C4＋C3C4＝C7.
01
12
23
34
3
3
3
3
01
12
23
34
3
4
0
1
22
33
04
13
22
3
4
7343
(2)证明：由rCn＝r·n2
rn！?n－1?！r－1
＝n·＝nCn－1，
r！?n－r?！?r－1?！?n－r?！
nnr2
nr2nnr2
可得? (r＋1)(C)＝? (rC)＋?2r(C)＋? (Cn)
r2nr＝0
r＝0
r＝0
r＝0
nnr－12n－1
nr－1n－1
＝n2
? (C
)＋2n?C
r＝12n·C＋? (Cn).
rnr2
r＝0nnnr＝1
考察恒等式(1＋x)＝(1＋x)(x＋1)左右两边x的系数． 因为右边(1＋x)(x＋1)＝(Cn＋Cnx＋…＋Cnx)·(Cnx＋Cnx所以右边x的系数为
nnnn0
1
nn0n1n－1
＋…＋Cn)，
nCnCn＋CnCn＋…＋CC＝? (Cn)，
00
11
nnnnr2
r＝0
而左边的x的系数为C2n，
nnn所以? (Cn)＝C2n.
r2
nr＝0
n同理可求得? (Cn－1)＝C2n－2.
r－12
n－1
r＝1
考察恒等式(1＋x)因为右边(1＋x)所以右边x0
1
1
2n－1
＝(1＋x)
nn－1
(x＋1)左右两边x1
nn－1
的系数．
0n1n－1
n－1
(x＋1)＝(Cn－1＋Cn－1x＋…＋Cn－1x0n－1n－1
)(Cnx＋Cnx＋…＋Cn)，
nn－1
的系数为
nn－1nn－1nCn－1Cn＋Cn－1Cn＋…＋C而左边的xnr－1
n－1
2
C＝?Cn－1·Cn，
r－1
rr＝1n－1
的系数为C2n－1，
rn－1
所以?Cn－1·Cn＝C2n－1，
r＝1
n所以? (r＋1)(Cn)－nC2n－2
2
r22n－1
r＝0
＝nC2n－2＋2nC2n－1＋C2n－nC2n－2 ＝2nC2n－1＋C2n ＝n(C2n－1＋C2n－1)＋C2n ＝n(C2n－1＋C2n－1)＋C2n ＝nC2n＋C2n
nnn－1
nnn－1
n－1
nn－1
n2n－1n－1n2n－1
＝(n＋1)C2n.
4．(2024·苏北四市调研)在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其他每一个数值是它上面的两个数值之和，这个三角形数阵开头几行如图所示．
n
(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
(2)已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数Cn，Cn，Cn，Cn不能构成等差数列．
解：(1)杨辉三角形的第n行由二项式系数Cn，
krr＋1
r＋2
r＋3
k＝0,1,2，…，n组成．
Cnk3
如果第n行中有k＝＝，
Cnn－k＋14Cnk＋14
＝， k＋1＝
Cnn－k5
那么3n－7k＝－3,4n－9k＝5， 解得k＝27，n＝62.
即第62行有三个相邻的数C62，C62，C62的比为3∶4∶5.
(2)证明：若有n，r(n≥r＋3)，使得Cn，Cn，Cn，Cn成等差数列， 则2Cn＝Cn＋Cn，2Cn＝Cn＋Cn， 即＝
2n！
?r＋1?！?n－r－1?！
r＋1
rr＋2
r＋2
r＋1
r＋3
rr＋1
r＋2
r＋3
26
27
28
k－1
kn！n！
＋，
r！?n－r?！?r＋2?！?n－r－2?！
2n！
?r＋2?！?n－r－2?！＝有
n！n！
＋. ?r＋1?！?n－r－1?！?r＋3?！?n－r－3?！
211
＝＋，
?r＋1??n－r－1??n－r－1??n－r??r＋1??r＋2?
2
?r＋2??n－r－2?＝
11
＋，
?n－r－2??n－r－1??r＋2??r＋3?
化简整理得，n－(4r＋5)n＋4r(r＋2)＋2＝0，
2
n2－(4r＋9)n＋4(r＋1)(r＋3)＋2＝0.
两式相减得，n＝2r＋3，
于是C2r＋3，C2r＋3，C2r＋3，C2r＋3成等差数列．
而由二项式系数的性质可知C2r＋3＝C2r＋3＜C2r＋3＝C2r＋3，这与等差数列的性质矛盾，从而要证明的结论成立．
5．已知An＝{x＞0|x＝k1·2＋k2·2＋…＋kn·2}，其中n∈N，n≥2，ki∈{－1,1}(i＝1，2，…，n)，记集合An的所有元素之和为Sn.
(1)求S2，S3的值； (2)求Sn.
解：(1)当n＝2时，A2＝{x＞0|x＝k1·2＋k2·2}＝{x＞0|x＝2k1＋4k2}＝{2,6}， 所以S2＝2＋6＝8.
当n＝3时，A3＝{x＞0|x＝k1·2＋k2·2＋k3·2}＝{x＞0|x＝2k1＋4k2＋8k3}＝{2,6,10,14}．
所以S3＝2＋6＋10＋14＝32.
(2)若kn＝－1，且k1＝k2＝…＝kn－1＝1，n≥2，n∈N， 则x＝2＋2＋…＋2
2
*
2
3
2
2
rr＋1r＋2r＋3
rr＋3r＋1r＋2
n*
n－1
2?1－2?n－2＝－2＝－2＜0，此时x?An.
1－2
n*
n－1
所以kn必然等于1，且当k1＝k2＝…＝kn－1＝－1，n≥2，n∈N时，
x＝－2－2－…－2
2n－1
2?1－2?n＋2＝－＋2＝2＞0，此时x∈An.
1－2
n*
n－1
所以当kn＝1，k1，k2，…，kn－1∈{－1,1}，n≥2，n∈N时，都有x∈An. 根据乘法原理知，使得ki＝1(i＝1,2,3，…，n－1，n≥2，n∈N)的x共有2
*
n－2
个，使得
ki＝－1(i＝1,2,3，…，n－1，n≥2，n∈N*)的x也共有2n－2个，
所以Sn中的所有ki·2(i＝1,2,3，…，n－1，n≥2，n∈N)项的和为0， 又因为使得kn＝1的x共有2所以Sn＝2
n－1
n－1
i*
个，
×2＝2
n2n－1
.
(文理通用)江苏省高考数学理科附加题第3讲计数原理与二项式定理练习
