第四章 求解导热问题的有限单元法
第4.1节 概述
第4.2节 泛函变分原理 第4.3节 有限单元法
第4.1节 概述
粗略地讲：有限元法是获得微分方程近似解的一种方法，是一种适合计算机来求解的数值计算方法。（元素特性方程和总体合成方程的建立可以采用直接法，变分法，加权余数法和能量平衡法等四种方法之一，所以粗略地说有限元法是获得微分方程近似解的一种方法也有道理）
比较严格的定义：有限单元法是求解泛函变分问题的一种近似方法。
那么这两种说法有什么联系，或者说是共同之处呢？ 变分和微分是对未知函数的不同描述，同一连续介质问题往往都可以找到微分和变分的等价表达方式。变分和微分几乎是同时发展起来的两个数学分支，其目的是相同的，都是求解未知函数，但是方法上有很大差别。
在已知边界条件的情况下，求微分方程的精确解析虽然已有完整的理论，但是真正能解出的只有极少数的几种简单情况，因为在很多情况下，微分方程并不存在初等函数解析解。（对于各种各样的映射，初等函数的表达能力实在太有限了，初等函数包括：冥函数、指数函数、对数、三角函数，以及它们的四则运算等。）由于寻求微分方程的初等函数解析解有困难，所以我们在前一章讲述了微分方程的近似解法，即差分法。
泛函变分原理虽然也可以用解析法（即积分）求得未知函数，但是因为有很多被积函数根本无法找到初等原函数，也就不能积分，尤其是对于二维和三维问题，解析法更加困难。所以我们也要寻求泛函变分的近似解法。泛函变分的近似解法包括里兹法和有限元法（里兹法是有限元法的前身），这两种方法的原理完全相同，即：构造一个近似的初等函数，用近似的初等函数去逼近未知函数。因为任何未知函数都可以找到它的近似初等函数（如：包含待定系数的多项式或三角函数），所以从根本上克服了解析法（无法找到初等原函数）的局限性—牺牲极小的理论计算精度，却换回了对大量复杂二维和三维工程问题的适用性。
微分方程的近似解法：差分法
泛函变分的近似解法：里兹法，有限元法
第4.2节 泛函变分原理
一、泛函的概念（借助讲解） 二、变分的概念
借助普通函数微分的概念，用类比法讲解 三、泛函的极值条件
借助普通函数的极值条件，用类比法讲解 四、里兹法（补充内容，但是很重要）
泛函变分的近似解法
一、泛函的概念
通过教材§4.1.2的运算实例引入一个泛函表达方式（作图讲解） 泛函的概念：函数的函数
泛函与普通函数的区别就在于：函数的自变量是数；而泛函的自变量则是函数，泛函的定义域由具有一定条件的一组函数组成。泛函是一个函数集到一个数集的映射；普通函数则是一个数集到另一个数集的映射。
泛函的表达式：J=J(y)=J[y(x)] J=J(T)=J[T(x，y)]
泛函的一般式：J[y(x)]??F(x,y,y')dx
x1x2从物理意义上讲，暂时你也可以把泛函理解成熵，自由能等。对于泛函的具体数值我们并不是特别关心，而更关注它何时取得极值，即取什么样的自变量函数，泛函有极值。
二、变分的概念
普通函数 y(x) 泛函 J[y(x)] 自变函数的增量??(x) 其中：?是一个有限小的量， ?(x)??自变量的增量?x x?(x1,x2)?任意值 x?x1或x?x2?0 自变量的微分dx?lim(?x) ?x?0自变函数的变分 泛函的增量 ?y?lim[??(x)] ??0函数y(x)的增量?y?y(x??x)?y(x) ?J?J[y(x)???(x)]?J[y(x)] 泛函的变分 函数y(x)的微分dy?lim[y(x??x)?y(x)] ?x?0?J?limJ[y(x)???(x)]?J[y(x)] ?x?0函数微分运算规则： 有函数u(x)和v(x)，则： d(uv)?udv?vdu 有函数y(x)，则 d(x,y)?xdy?ydx nn?1 dy?nydy 函数y(x)的极值条件 泛函变分运算规则： 有函数u(x)和v(x)，则： ?(uv)?u?v?v?u nn?1有函数y(x)，则 ?(xy)?x?y ?y?ny?y 泛函J[y(x)]的极值条件 ?Jdy?0 dx?y?0 三、泛函的极值条件（欧拉方程）
泛函J[y(x)]??F(x,y,y')dx的极值条件等价于Fy?x1x2dFy'?0 dx欧拉方程给出了泛函极值条件与微分方程的关系！ 利用欧拉方程解教材§4.1.2的例题。（注意这是求解变分问题的解析法）
2在变分问题中，使泛函J(y)为极小值的条件，除?J?0外，还应有?J?0（二
阶变分）
四、里兹法（泛函变分的近似解法）
（变分原理在求解微分方程中的应用）连续介质问题经常有着不同的但是等价的表达公式－－微分表达公式和变分表达公式，从例§4.1.2中我们可以看到，泛函的变分计算可用微分方程的求解来代替，反之，微分方程的求解也可用泛函的变分计算来代替。
求解变分精确解的过程中需要进行各种积分运算，而许多情况下被积函数根本无法找到与相应的初等函数形式的原函数，这说明通过求原函数来计算积分有它的局限性，甚至于可以说这种形式的变分运算根本无法体现出它的运算较微分解方程有什么优越性。 变分法的优越性体现在：我们可以找到一种适用于求得以变分形式表达问题的近似解的简便方法，这种方法叫里玆法，是有限元法的前身 。 例：用里兹法解微分方程：y''?y?1?0
?x?0,y?0边界条件?
x?1,y?0?11?x?0,y?01解：构造泛函J[y(x)]??[(y')2?y2?y]dx，在满足边界条件?情况下，
022?x?1,y?0该泛函的极值条件与微分方程y''?y?1?0同解。
利用欧拉方程可以很容易的证明两者同解（Fy??y?1，Fy'?y'） 令近似函数（或称为试探函数）
y?a1(x?x2)?a2(x?x3)?a3(x?x4)?......
其中a1,a2,a3为待定系数，因为近似函数必须满足边界条件，所以我们构造了这样一个函数。
将近似函数代入泛函，则此时泛函J[y(x)]已经“变质”了，它不再是函数y(x)的函数（泛函）。而实际上是关于未知数a1,a2,a3,......an的多元函数J(a1,a2,a3,......an)
普通多元函数取极值的条件：
?J?0 k=1,2,3,…n ?ak从这n个代数方程中显然可以求得a1,a2,a3,......an等n个未知数 这里，我们令 y?a1(x?x2)
11J[y(x)]??[a12(1?2x)2?a12(x?x2)2?a1(x?x2)]dx
02211?J??[a1(1?2x)2?a1(x?x2)2?(x?x2)2]dx 0?a1 ＝?[a1(1?4x?4x2)?a1(x2?2x3?x4)?(x?x2)]dx
01
＝?[a1?(4a1?1)x?(3a1?1)x2?2a1x3?a1x4]dx
011111(4a1?1)?(3a1?1)?a1?a1 232513＝??a1＝0
61055得：a1?，所以：y?(x?x2)
99＝a1?近似解：y(1)?0.1389
检验：
2由解析法得精确解：y?cosx?1?cos1.0sinx?1
sin1.01y()?0.13949 2述评：
i）一般而言近似函数（试探函数）的项数愈多，达到的精度愈高。
ii）这个方法只是从一族假定中给我们最好的解，因此，非常明显，近似解的精确度和试探函数的选择有关。
iii）我们要求试探函数应定义在整个求解区域上，而且它们至少要满足一些边界条件，通常是要满足全部边界条件。
iv）通常试探函数是由次数连续增大的多项式构成，但在有些情况下，采用其它类型的函数可能是有好处的。
第4.3节 有限单元法
一、里兹法的不足（有限元法与里兹法的异同点）
相同点：
两者实质是相同，数学基础都是泛函变分，求解方法都是以初等函数（多项式）去近似未知函数，利用普通多元函数的极值条件来求解多项式中的待定系数。
不同点（里兹法的缺点）：
ⅰ）里兹法将近似函数定义在整个定义域上，而构造近似函数时，又要求它满足
所有的边界条件，所以说定义域的边界只能是简单的多边形或多面体（它只
能应用在形状相当简单的求解区域上），而不能是复杂形状的边界，故适用范围有限；
有限元素法将近似函数定义在一个单元内（给出未知函数的分片近似函数），虽然对单元同样存在几何上的限制，但是由于形状简单的单元可以被集合起来表示非常复杂的几何形状，因此，有限单元法比里兹法的用途要广泛得多。有限单元法的近似函数的自变量（即待定系数）是节点上的场变量，应变量当然是单元内区域上各点的场变量。
ⅱ）对里兹法，一般来说，试探函数的项数越多精度越高；对有限元法，一般可
选用线性（一次）多项式试探函数，通过缩小单元格尺寸提高计算精度。 ⅲ）一般情况下，里玆法要求解出试探函数表达式；而有限元法则一般只需求得
离散节点上的未知函数值。
二、有限元法的解题思路（即一般步骤）
1．有限元方法的一般步骤（摘录自其它教材）： （1） 连续介质的离散化
把连续介质划分成很多元素（单元）。即使在一个求解区域中亦可应用不同形状的元素。
（2） 指定节点选择插值函数
场变量可能是一个标量，或是一个更高阶的张量。通常选择多项式作为场变量的插值函数，因为它们易于积分和微分，多项式次数的选择取决于每个元素上指定的节点数目，每个节点上未知数的性质和数目以及加在节点上和元素边界上的某些连续性的要求。节点上场变量的大小以及它的导数的大小很可能是未知的。 （3） 求出元素特性
应用直接法，变分法，加权余数法和能量平衡法等四种方法之一，建立表示各个元素特性的矩阵方程。
（4） 集合元素特性以求得系统方程组（总体合成）
将表示元素性态的矩阵方程组加以合并，形成表示整个求解区域或系统性态的矩阵方程组
系统的矩阵方程组和一个单独元素的方程组具有相同的形式，只是系统方程组包括更多的项，因为它们包括所有的节点。 总体集合成的基础是：对于每个共有某个互连节点的元素而言，在这个节点上的场变量值是相同的
在准备求解系统方程组之前，必须引入边界条件对系统方程组加以修正 （5） 求解系统方程组
求解系统方程组，可求得场变量的未知节点值。 （6） 按照需求要进行附加计算。
利用系统方程组的解来计算其它的重要参数。 有限元素法的应用范围：
① 平衡问题（或不依赖于时间的稳态问题）。
② 定常状态的特征值问题，如固体或流体振动的固有频率。 ③ 传播问题（或非稳态问题）。将时间量纲加入前两类问题而产生的新问题。
求解导热问题的有限单元法
