人大附中2020-2021学年度高三年级数学练习
设平面A1EB1的法向量为m=(x，，yz)，则
??m?B1E=0，?2x?y=0， 即? ?2z=0．m?BA=0，???11令x=1，则y=2，z=0． 于是m=(1，， 2 0)． 所以cos?n,m?=
……………11分
n?m55==． nm353由题知二面角A?EB1?A1为锐角，所以其余弦值为
（17）（共13分）
解：法一 选择条件②．
5． ……………13分 3 …………… 1分
因为在△ABC中，sinA=3sinB，所以a=3b． 又因为C=π， 6ab， =sinAsinB …………… 4分
所以由余弦定理，
c=a2+b2?2abcosC=3b2+b2?23b2又因为ac=3，
所以3b2=3，b=1或?1(舍)． 所以a=3，c=1．
3=b?0， 2…………… 7分
……………10分 ……………13分 …………… 1分
11π33sin=所以△ABC的面积为S=absinC=．
2264法二 选择条件③．
acπ，C=， =sinAsinC6因为在△ABC中，csinA=3，所以a=csinA3==6． sinCsinπ6 …………… 4分
因为在△ABC中，sinA=3sinB，所以b=ab， =sinAsinBa=23． 3 …………… 7分
所以由余弦定理，
c=a2+b2?2abcosC=36+12?2?6?23?3=23，……………10分 2111所以△ABC的面积为S=absinC=?6?23?=33．……………13分
2226
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（18）（共14分）
解：（Ⅰ）设“计划依次派出甲乙丙，能完成任务”为事件A．
…………… 1分
213因为甲乙丙各自能完成任务的概率分别为p1=，p2=，p3=，
324各人能否完成任务相互独立．
所以P(A)=p1+(1?p1)p2+(1?p1)(1?p2)p3=23
或 P(A) =1?(1?p1) (1?p2) (1?p3) = 24 .
23． 24…………… 4分 …………… 4分
2， 3． 依题意，X的所有可能取值为1，P(X=1)=p1=211，P(X=2)=(1?p1)p2=，P(X=3)=(1?p1)(1?p2)=． 366所以X的分布列为
X 1 2 3 1 6P 2 31 62113故X的期望E(X)=1?+2?+3?=．
3662（Ⅱ）依次派出丙甲乙．
……………10分 ……………14分
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）当a=0时，f(x)=2x3+2，x?R．
所以f?(x)=6x2．
2t3+2)， 设切点为(t，所以切线方程为y=6t2(x?t)+2t3+2．
…………… 3分
当切线过(?1， 0)时，6t2(?1?t)+2t3+2=0，
所以3t2(?1?t)+(t+1)(t2?t+1)=?(t+1)(2t2+t?1)=?(t+1)2(2t?1)=0， 1所以t=?1或．
2所求切线方程为y=6x+6或y=33x+． 22 …………… 6分
（Ⅱ）因为f(x)=2x3?3ax2+2，0 所以f?(x)=6x2?6ax=6x(x?a)． 令f?(x)=0，得x=0或a． x f?(x) (??， 0) 0 0 7 (0，a) a 0 (a， +?) + ? + ……………10分 f(x) 所以f(x)的单调递增区间为(??， 0)和(a， +?)， 单调递减区间为(0，a)． 人大附中2020-2021学年度高三年级数学练习 ① 当1?a?3时，f(x)在[0， 1]上单调递减． 所以依题意，M=f(0)=2，m=f(1)=4?3a． 所以，M?m=3a?2?[1， 7)． ……………11分 ② 当0?a?1时，f(x)在[0， a]上单调递减，在[a， 1]上单调递增． 又因为f(0)=2，f(1)=4?3a，f(a)=?a3+2． （1） 当 2?a?1时，4?3a?2， 38， 1)． 27所以M=f(0)，m=f(a)，M?m=a3?[ ……………12分 （2） 当0?a?2时，4?3a?2， 3所以M=f(1)，m=f(a)，M?m=a3?3a+2． 设g(x)=x3?3x+2，当0?x?2时，g?(x)=3x2?3?0． 32所以g(x)在(0， )单调递减． 328又因为g(0)=2，g()=， 327所以M?m=g(a)?(所以，当且仅当a= （20）（共15分） 8， 2)． 27 ……………14分 ……………15分 28时，M?m取得最小值． 327 ?b)， 解：（Ⅰ）依题意，A(?a， 0)，B(a， 0)，T(0， b)，AT=(a，b)，TB=(a，?c22，?=?a=3，a3???22?a?b=8， 解得?b=1， ??222a=b+c，?c=22．???a?b?0， x22所以椭圆C的方程为+y=1． 9 …………… 5分 2）． （Ⅱ）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则xi2+9yi2=9，xi??3，yi?0（i=1， …………… 6分 ① 当直线MN垂直于y轴时， 由对称性，直线AM，BN交于y轴，不合题意，舍．…………… 7分 ② 当直线MN不垂直于y轴时，设其方程为x=ty+m． ??x=ty+m，222(t+9)y+2tmy+m?9=0． 联立?2 得2x+9y=9，??…………… 9分 8 人大附中2020-2021学年度高三年级数学练习 m2?9?2tm依题意，t+9?0，??0，y1+y2=2，y1y2=2?0． t+9t+92所以m??3． 因为A(?3， 0)，B(3， 0)， 所以直线AM方程为y=y1y (x+3)，直线BN方程为y=2(x?3)． x1+3x2?39依题意，设P(，p)，因为P为直线AM，BN的交点， 2所以所以 y19y9(+3)=p=2(?3)． x1+32x2?32 ……………11分 5y1yy(x+3)y2(x2+3)x2+3=2=222==． x1+3x2?3?9y2x2?9?9y22所以45y1y2+x1x2+3(x1+x2)+9=0． 所以45y1y2+(ty1+m)(ty2+m)+3(ty1+m+ty2+m)+9=0． 所以(t2+45)y1y2+t(m+3)(y1+y2)+(m+3)2=0． m2?9?2tm所以(t+45)2+t(m+3)2+(m+3)2=0． t+9t+92……………13分 因为m??3，所以(t2+45)(m?3)?2t2m+(m+3)(t2+9)=0． 所以54m?108=0，m=2，直线MN方程为x=ty+2． 所以直线MN过定点(2， 0)． （21）（共15分） ……………15分 ?ab解：（Ⅰ）答案不唯一，??decfa??中(abc)，(dd? ef)为(123)的不同排 ?1231?列即可，例如??． 1321??设B某行为X=(x1 …………… 4分 （Ⅱ）依题意，设表B?S4(m，n)，设(abcd)为(1234)的某个排列， x2…xn)，xi?{1， 2， 3， 4}(i=1， 2， … ，n)． ba)时，B?S4(1， 6)，所以n=6符合题意． x4…xn)，x4=a或d． 一．当B=(abcd二．当n?6时，由①设X=(abc1． 当X=(abca…xn)时， 由①x5，x6?a，故由②x5=x6=d，与①矛盾． 2． 当X=(abcd…xn)时，由①x5=a或b． （1）当X=(abcda…xn)时， b…xn)时， 由②x6=a，与①矛盾． （2）当X=(abcd由①x6?b，故由②x6=a． 假若n?7，则由②x7=a，与①矛盾． 9 人大附中2020-2021学年度高三年级数学练习 综上，n的最大值为6． …………… 8分 且当n=6时，X=(abcd（Ⅲ）选择问题（一）． ba)，这样的X共A44=24个． 由③，当n最大时，m的最大值为24． ……………10分 若表B?S4(m，n)，设(abcd)为(1234)的某个排列， 一．当n=4时， 由（Ⅱ）X=(abcd)或(abca)． 3这样的X共A44+Α4=48个． 4)??；m?48时，S4(m， 4)=?． 2， … ， 48时，S4(m，所以m=1，二．当n=5时， 由（Ⅱ）X=(abcad)或(abcd这样的X共A44?3=72个． 5)??；m?72时，S4(m， 5)=?． 2， … ， 72时，S4(m，所以m=1，a)或(abcdb)． 三．当n=6时， 由（Ⅱ）X=(abcdba)，这样的X共A44=24个． 6)??；m?24时，S4(m， 6)=?． 2， … ， 24时，S4(m，所以m=1，四．当n?7时， 由（Ⅱ）S4(m，n)=?． 综上，集合S4(m，n)m?N*，n?N*，n?4的元素个数为 ??48+72+24+1=145． ……………14分 （Ⅲ）选择问题（二）． 若Y=(y1设Y=(y1y2…yn)满足②，则将Y删除若干项仍满足②． y2…yn)?Sk(1， n)，yi?{1， 2， …， k}(i=1， 2， … ，n)． y4…yn)，则由①y4=a，由①②，y5无解，矛盾． 一．当k=3时，假若n?5，设(abc)为(123)的某个排列， 设Y=(abc所以n?4=2k?2． 二．假设存在n，使得n?2k?1，设满足此条件的最小的k为u． 所以Y=(y1y2…yn)?Su(1， n)，n?2u?1． 由一，u?4． v)，则v?2(u?1)?2=2u?4?n?3． 若Z?Su?1(1，不妨设yi(i=1， 2， … ，n)中，u出现的次数m最小． 1． 当m=0时，Y=(y1y2…yn)?Su?1(1， n)，矛盾． 2． 当m=1时，设yt=u， （1）当t=1或n时，将Y去掉yt这一项得Z， n?1)，矛盾． 则Z?Su?1(1，10
北京市人大附中2020-2021学年度上学期高三年级八月练习数学试题(PDF版)
