人大附中2020-2021学年度高三年级数学练习
人大附中2020-2021学年度高三年级八月练习
数 学
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A={x|x?1?0}，B={0， 1， 2}，则AA．{0}
B．{1}
2020年08月18日
B=（ ）
1， 2} D．{0， 2} C．{1，2．已知i为虚数单位，若iz=?1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑
堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，其体积为（ ） A．1 C．2
62
B．2 D．22 11主视图1左视图1??4．?2x?3?展开式中x2项的系数为（ ）
x??A．?160
B．?20
C．20
俯视图D．160
5．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四
个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．则下列说法不正确的是（ ） A．立春和立冬的晷长相同 B．立夏和立秋的晷长相同
C．与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长 D．与春分的晷长相差最大的是秋分的晷长 注：“相差”是指差的绝对值
6．点P在曲线y2=4x上，过P分别作直线x=?1及y=x+3的垂线，垂足分别为G，H，
则PG+PH的最小值为（ ） A．
1
32 2B．22 C．
32+1 2D．2+2
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7．“x+sinx?0”是“x?sinx?0”的（ ）
A．充分必要条件 C．必要不充分条件
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．以Ox为始边作钝角α，角α的终边与单位圆交于点P(x1，y1)，将角α的终边顺时针旋
转
π得到角β．角β的终边与单位圆相交于点Q(x2，y2)，则x2?x1的取值范围为（ ） 3A．(?31， ) 2213B．(， )
221 1) C．(，21 1] D．(，29．若圆P的半径为1，且经过坐标原点，过圆心P作圆(x?4)2+(y?3)2=4的切线，切点
为Q，则PQ的最小值为（ ） A．3 B．23
C．2
D．4
10．气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃．现有甲乙
丙三地连续5天的日平均温度（都是正整数，单位：℃）的记录数据如下： ①甲地5个数据的中位数为26，众数为22； ②乙地5个数据的平均数为26，方差为5.2；
③丙地5个数据的中位数为26，平均数为26.4，极差为8. 则从气象意义上肯定进入夏季的地区是（ ） A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
y2x211．双曲线C：?=1的焦距是__________．
91612．已知{an}是等差数列，{an+bn}是公比为c的等比数列，a1=1，b1=0，a3=5，则数
列{an}的前10项和为__________，数列{bn}的前10项和为__________（用c表示）． 13．已知△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边的高．
（Ⅰ）若P为线段OC的中点，则AP?OP=__________．
（Ⅱ）若P为线段OC上的动点，则AP?OP的取值范围为__________． 14．不等式t2?at?0对所有的a?[?1， 1]都成立，则t的取值范围是__________． 15．在实数集R中定义一种运算“?”，具有以下三条性质：
0?a=a； （1）对任意a?R，给出下列四个结论： ①2?(0?2)=0；
（2）对任意a，b?R，a?b=b?a；
（3）对任意a，b，c?R， (a?b)?c=c?(ab)+(a?c)+(b?c)?2c．
②(2?0)?(2?0)=8；
③对任意a，b，c?R，a?(b?c)=b?(c?a)； ④存在a，b，c?R， (a+b)?c?(a?c)+(b?c)． 其中，所有正确结论的序号是__________．
注：本题全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
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三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题13分）如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，点E是棱C1C的
中点，已知A1B1=B1C1=C1C=2，B1E=5． （Ⅰ）求证：B1B⊥平面ABC； （Ⅱ）求二面角A?EB1?A1的余弦值．
BB1AA1
17．（本小题13分）在△ABC中，sinA=3sinB，C=CEC1π，再从条件①，条件②，条件③6这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求c的值及△ABC的面积． 条件①：c=3b； 条件②：ac=3； 条件③：csinA=3． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题14分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个
人执行任务，且每个人只派一次．每人工作时间均不超过10分钟，如果10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人；如果10分钟内已完成任务则不再派人．现在一共只213有甲乙丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为p1=，p2=，p3=．假定
324各人能否完成任务相互独立． （Ⅰ）计划依次派甲乙丙执行任务，
①求能完成任务的概率；
②求派出人员数X的分布列和数学期望E(X)．
（Ⅱ）欲使完成任务的概率尽可能大，且所取需派出人员数X的数学期望尽可能小，你认
为应该按什么次序派出甲乙丙？（直接写出答案即可）
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19．（本小题15分）已知函数f(x)=2x3?3ax2+2.
（Ⅰ）若a=0，求过曲线y=f(x)上一点(?1， 0)的切线方程；
（Ⅱ）若0 x2y220．（本小题15分）已知椭圆C：2+2=1(a?b?0)的左右顶点分别为A，B，上顶点为 abT，离心率为22，AT?TB=8．点M，N为椭圆C上异于A，B的两点，直线AM，3BN相交于点P． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若点P在直线x= 21．（本小题15分）已知m，n，k为正整数，n?4，k?3，A是由m?n个不超过k的正整 数组成的m行n列的数表，其第i行第j列为xi,j，1?i?m，1?j?n，满足： ①对任意1?i?m，2?j?n?1，均有xi,j?1，xi,j，xi,j+1互不相等； ②对任意1?i?m，不存在1?a?b?c?d?n，使得xi,a=xi,c且xi,b=xi,d； ③当m?2时，对任意1?i?j?m，存在1?k?n，使得xi,k?xj,k． 记Sk(m，n)为所有这样的数表构成的集合． 4)中的一个元素； （Ⅰ）写出S3(2，9上，求证：直线MN过定点． 2（Ⅱ）若S4(m，n)??，则当n最大时，求m的最大值； （Ⅲ）从问题（一）问题（二）中选择一个作答．如选择问题（一），本题满分改为14分． 问题（一）：求集合S4(m，n)m?N*，n?N*，n?4的元素个数． 21)的元素个数． 问题（二）：求集合S11(3，??注：如果选择问题（一）和问题（二）分别解答，按第一个解答计分． 4 人大附中2020-2021学年度高三年级数学练习 人大附中2020-2021学年度高三年级八月练习 数学参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）C （6）B （2）A （7）A （3）C （8）D （4）A （9）B （5） D （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）10 18 （12）100??90，当c=1时，? ?1?c10，当c?0， 1时??100+1?c?（13）?1[?， 0] 8 （14）(??， ?1]{0}[1， +?) （15）②③④ 注：第14题仅漏掉“0”的得3分． 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分） 1解：（Ⅰ）依题意，在△B1C1E中，B1C1=2，B1E=5，C1E=C1C=1， 2所以B1C12+C1E2=B1E2． 所以?B1C1E=90． 又因为三棱锥ABC?A1B1C1中，四边形BB1C1C为平行四边形， 所以四边形BB1C1C为矩形． 所以B1B⊥BC． 所以B1B⊥AB． 又因为AB，BC?平面ABC，AB所以B1B⊥平面ABC． 所以AB⊥BC． 如图建立空间直角坐标系B?xyz， …………… 5分 …………… 2分 Az A1因为AB⊥平面BB1C1C，BB1?平面BB1C1C， BC=B， BB1CEC1…………… 4分 x y （Ⅱ）因为AB⊥平面BB1C1C，BC?平面BB1C1C， 2 0)，A1(0，， 2 2)，B1E=(2，?1， 0)， 则A(0，， 0 2)，E(2，， 1 0)，B1(0，，B1A=(0，?2， 2)，B1A1=(0，， 0 2)． ??n?B1E=0，?2x?y=0， 即? ??2y+2z=0．??n?B1A=0，?令x=1，则y=2，z=2． 于是n=(1，， 2 2)． 5 …………… 7分 设平面AEB1的法向量为n=(x，，yz)，则 …………… 9分
北京市人大附中2020-2021学年度上学期高三年级八月练习数学试题(PDF版)
