房山区2024年高考第一次模拟测试试卷
数学（理）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合M?{?1,0,1,2}，N?{y|y?2x?1,x?M}，则集合MIN等于
（A）{?1,1}
（B）{1,2}
（C）{?1,1,3,5}
（D）{?1,0,1,2}
（2）已知复数z1?2?i，且复数z1，zz12在复平面内对应的点关于实轴对称，则
z? 2（A）1+i
（B）
35?45i （C）
35-45
i （D）1?
43
i ?x（3）已知实数x,y满足条件??y?0?x?y?4?0，则y的最大值是
??x?1?0x（A） 1 （B）2 （C）3 （D）4 （4）执行如图所示的程序框图，若输出的S?88，则判断 框内应填入的条件是
开始（A）k?4 （B）k?5 S= 0, k= 1 （C）k?6 k =k +1 （D）k?7 S =2 S+k 否
是 （5）下列函数中，与函数y?x3的单调性和奇偶性相同的函数是
输出 S （A）y?x lnx 结束 （B）y? （C）y?tanx （D）y?ex?e?x
（6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
（A）8+42 （B）2+22+43 （C）2+63 （D）2+42+23 （7）“m?3
无解”的
m”是“关于x的方程sinx?m（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）如图，直线AB与单位圆相切于点O，射线OP从OA出发，绕着点O逆时针旋转，在旋转的过程中，记?AOP?x(0?x??)，OP经过的单位圆O内区域（阴影部分）的面积为S，记S?f(x)，则下列判断正确的是 ．．
（A）当x?3?3?1时，S?? 442（B）x?(0,?)时， f(x)为减函数 （C）对任意x?(0,（D）对任意x?(0,?)，都有f(?x)?f(?x)??
222)，都有f(x?)?f(x)? 222?????
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）抛物线x?4y的焦点坐标为 .
（10）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n?N)等于 . （11）在极坐标系中，直线l的方程为?sin??3，则点?2,*2?????到直线l的距离为______． 6?（12）已知函数f(x)同时满足以下条件：①周期为?；②值域为[0,1]；③f(x)?f(?x)?0．试写出一
个满足条件的函数解析式f(x)? .
（13）四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著均有若干本），要求每人只借阅一本名著，每种名著均有人借阅，且甲只借阅《三国演义》，则不同的借阅方案种数为 .
（14）如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为2，且
AD??AB??AC，则???? .
C
E
D
A B
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，且cos2B?cosB?0． （Ⅰ）求角B的值； （Ⅱ）若b?
（16）（本小题13分）
2017年冬，北京雾霾天数明显减少．据环保局统计三个月的空气质量，达到优良的天数超过70天，重度污染的天数仅有4天．主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施，如：①减少机动车尾气排放；②实施了煤改电或煤改气工程；③关停了大量的排污企业；④部分企业季节性的停产．为了解农村地区实施
7，a?c?5，求△ABC的面积．
煤改气工程后天燃气使用情况，从某乡镇随机抽取100户，进行月均用气量调查，得到的用气量数据（单位：千立方米）均在区间?0，5?内，将数据按区间列表如下：
分组 频数 频率 合计 （Ⅰ）求表中
若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该乡镇每户月平均用气量；
(0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] 14 x 55 4 2 100 0.14 m 0.55 0.04 0.02 1 x，m的值，
（Ⅱ）从用气量在区间(3,4]和区间(4,5]的用户中任选3户，进行燃气使用的满意度调查，求这3户用气量处于不同区间的概率；
（Ⅲ）若将频率看成概率，从该乡镇中任意选出了3户，用X表示用气量在区间?1,3?内的户数，求X的分布列和期望．
（17）（本小题14分）
如图，四棱锥P?ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，PD?CD?2，
1//AD，CD?AD. PC=2，BC?2（Ⅰ）求证：CD?平面PAD；
（Ⅱ）若E为PD中点，求CE与面PBC所成角的正弦值； （Ⅲ）由顶点C沿棱锥侧面经过棱PD到顶点A的最短路线与PD的
P
E A D
交点记为F.求该最短路线的长及
PF的值. FDB C
（18）（本小题14分）
x2y22 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点?0,?1?，离心率e?.
2ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F?1,0?作斜率为k?k?0?的直线l，l与椭圆C交于M，N两点，若线段MN的垂直平分线交x轴于点P，求证：
（19）（本小题13分）
已知函数f?x?＝－alnx(a?R)． （Ⅰ）当a＝-1时，
（i）求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
（ii）设g(x)?xf(x)?1，求函数g?x?的极值； （Ⅱ）若函数f(x)在区间?
（20）（本小题13分）
已知有穷数列B:a1,a2,...an,?n?2,n?N?数列B中各项都是集合x?1?x?1的元素，则称该数列为?数列．对于?数列B，定义如下操作过程T:B中任取两项ap,aq，将|MN|
为定值． |PF|
1x?1?,???有两个的零点，求实数a的取值范围． 2?e???ap?aq1?apaq的值添在B的最
后，然后删除ap,aq这样得到一个n?1项的新数列B1 (约定：一个数也视作数列)．若B1还是?数列，可继续实施操作过程T，得到的新数列记作B2，…，如此经过k次操作后得到的新数列记作Bk. （Ⅰ）设B:0,,.请写出B1的所有可能的结果； （Ⅱ）求证：对于一个n项的?数列B操作T总可以进行n?1次； （Ⅲ）设B:?,?,?,?,,,,,,11235716151511111，求B9的可能结果，并说明理由. 4623456
北京市房山区2017-2024高三数学(理)科一模试卷(含答案)
