2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准
一、选择题（本题满分30分，每小题6分）
1. 如果实数m，n，x，y满足m2?n2?a，x2?y2?b，其中a，b为常数，那么mx+ny 的答：[B]
最大值为
a2?b2a?ba2?b2A. B. ab C. D.
222 解 由柯西不等式(mx?ny)2?(m2?n2)(x2?y2)?ab；或三角换元即可得到
mx?ny?ab，当m?n?ab，x?y?时，mx?ny?ab. 选B.
22?11?2. 设y?f(x)为指数函数y?ax. 在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，N?,?四点
?24?中，函数
y?f(x)与其反函数y?f?1(x)的图像的公共点只可能是点 答：[D]
A. P B. Q C. M D. N 解 取a?可能是 点N. 选D.
3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数答：[A]
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
.5
111?1??1?，把坐标代入检验，????，而???，∴公共点只
4216?16??16?1214列，那么
1 0
x?y?z
2 1
的
值为
x
y
z
解 第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的x?0.5，y?53，z?，则x?y?z?1. 选A. 16164. 如果?A1B1C1的三个内角的余弦值分别是?A2B2C2的三个内角的正弦值，那么
答：[B]
A. ?A1B1C1与?A2B2C2都是锐角三角形
B. ?A1B1C1是锐角三角形，?A2B2C2是钝角三角形 C. ?A1B1C1是钝角三角形，?A2B2C2是锐角三角形 D. ?A1B1C1与?A2B2C2都是钝角三角形
解 两个三角形的内角不能有直角；?A1B1C1的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若?A2B2C2是锐角三角形，则不妨设
??????cosA1=sinA2=cos??A1?， cosB1=sinB2=cos??A2?，
?2??2????cosC1=sinC2=cos??C1?.
?2?则
A1?即 A1?B1?C1??2?A2，B1??2?B2，C1??2?C2，
3??(A2?B2?C2)，矛盾. 选B. 25. 设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a??，b??，且???”的答： [D]
A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对
解 任作a的平面?，可以作无数个. 在b上任取一点M，过M作?的垂线.
平
面
?，
?
b与
垂线确定的平面?垂直于?. 选D. 二、填空题（本题满分50分，每小题10分）
26. 设集合A?xx??x??2和B??xx?2?，其中符号?x?表示不大于x的最大整
??数，则
A?B??1,3.
解 ∵x?2，?x?的值可取?2,?1,0,1.
当[x]=?2，则x2?0无解； 当[x]=?1，则x2?1，∴x=?1； 当[x]=0，则x2?2无解； 当[x]=1，则x2?3，∴x?3. 所以x??1或3.
7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是P?成既约 分数）.
91(结果要求写216??91?5? 解 考虑对立事件，P?1????.
6216??8. 已知点
3O在?ABC内部，
OA?2OB?2OC?0.?ABC与?OCB的面积
AOBC之比为5：1.
解 由图，?ABC与?OCB的底边相同，
高是5：1. 故面积比是5：1.
9. 与圆x2?y2?4x?0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为
y2?8x(x?0)或 y?0(x?0).
解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、x??2为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为y2?8x(x?0)，
2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准
