经济数学基础之一元函数积分学 第一章 不定积分
第一单元 原函数的概念
一、学习目标
通过本节课的学习，理解原函数的概念．
二、内容讲解
这节课我们讲原函数的概念，先来看什么是原函数． 已知 求 总成本函数 边际成本 C(x) C?(x)
‖
（ ） MC
( )????MC
求 已知
已知总成本C(x)，求边际成本C?(x)，就是求导数．反之如果已知边际成本，用MC表示，要求总成本，这就是我们要讨论的问题，也就是要知道哪一个函数的导数等于MC．我们引进一个概念：
定义1.1——原函数
若对任何x?D，F?(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的原函数． 我们来看具体的问题：例如
?(x3)??=3x2 [F(x) f(x)]；?x3是3x2的原函数．
大家用自己的方法把它搞清楚，不要和导数的概念搞混了． 先考虑这样一个问题：2x的原函数是哪个？
由原函数的概念我们就要看哪个函数的导数是2x，即它使得()??2x成立，我们在下列
22x2,1?x,x?4,lnx,2?1 函数中进行选择：
22经验证知1?x和x?4是2x的原函数．
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通过这个过程应该弄清，求已知函数的原函数，就是看哪个函数的导函数是已知函数，这个函数就是所求的原函数．
另外，2x的原函数不唯一．它告诉我们原函数不止一个． 再从另一方面提出问题：sinx为哪个函数的原函数？
(sinx)??cosx，说明sinx是cosx的原函数．
同样(sinx?3)??cosx，说明sinx?3是cosx的原函数．
事实上，sinx?c都是cosx的原函数，说明原函数有无穷多个．那怎样求出一个函数的所有原函数呢？这是下面要讨论的．
若F(x),G(x)都是f(x)的原函数，则G(x)?F(x)?c 证：设H(x)?F(x)?G(x)
H?(x)?F?(x)?G?(x)?f(x)?f(x)?0
可知H(x)??c，即G(x)?F(x)?c
这个结论非常重要，我们已经知道，若F(x)是f(x)的原函数，则F(x)?c都是f(x)的原函数．而这个结论告诉我们任意两个原函数之间差一个常数．所以只要求出一个原函数，就能得到所有原函数．
问题思考1：如果一个函数f(x)有原函数，它可能有多少个原函数？ 答案有无穷多个原函数．
问题思考2：F(x)是f(x)的原函数，F(x)?c是否包含了f(x)的所有原函数？ 答案是，因为f(x)的任一原函数G(x)都可表示为F(x)?c的形式．
三、例题讲解
1例1求x的全体原函数．
分析：先求一个原函数，再将这个原函数加任意常数就得到全体原函数．求原函数就是
1看哪个函数的导数是x．
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解：因为(lnx)??例2判断
111，所以lnx是的一个原函数．故的全体原函数为lnx+c。 xxx1是哪个函数的原函数． x1分析：看的导函数是哪个函数．
x1111()???2?2x，所以x是x的原函数． 解：因为x四、课堂练习
求sinx的全体原函数．
先求一个原函数，再将这个原函数加任意常数就得到全体原函数．求原函数就是看哪个函数的导数是
sinx．因为 (?cosx)??sinx，所以?cosx是sinx的一个原函数．
五、课后作业
1．求下列函数的一个原函数：
12x2x（1）x?1；（2）x；（3）3；（4）2e
2．求下列函数的全体原函数：
x?12)226x?xx?10x（1）；（2）；（3）；（4）
(3xx31?x2xlnx31．（1）；（2）x；（3）ln3；（4）e x27x322?x?c?x?c1c33272．（1）；（2）；（3）；（4）x??2lnx?C x3第二单元 不定积分的定义
一、学习目标
通过本节课的学习，理解不定积分的概念．
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经济数学基础积分学之第1章不定积分
