17．2 实际问题与反比例函数
教学目标
1．知识与技能
学会把实际问题转化为数学问题，进一步理解反比例函数关系式的构造，掌握用反比例函数的方法解决实际问题． 2．过程与方法
感受实际问题的探索方法，培养化归的数学思想和分析问题的能力． 3．情感、态度与价值观
体验函数思想在解决实际问题中的应用，养成用数学的良好习惯． 教学重点难点
重点：用反比例函数解决实际问题． 难点：构建反比例函数的数学模型． 课时安排 2课时
教与学互动设计
第1课时
（一）创设情境，导入新课
一位司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米／时的平均速度用6?小时到达目的地． （1）当他按原路匀速反回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？ （2）若该司机必须在4个小时内回到甲地，则返程的速度不能低于多少？ （二）合作交流，解读探究
探究 （1）原路返回，说明路程不变，则80×6=480千米，因而速度v和时间t满足：vt=480或v=480的反比例函数关系式．
t （2）若要在4小时内回到甲地（原路），则速度显然不能低于480=120（千米/时）．
4 归纳 常见的与实际相关的反比例
（1）面积一定时，矩形的长与宽成反比例；
（2）面积一定时，三角形的一边长与这边上的高成反比例； （3）体积一定时，柱（锥）体的底面积与高成反比例； （4）工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例； （5）总价一定时，单价与商品的件数成反比例； （6）溶质一定时，溶液的浓度与质量成反比例． （三）应用迁移，巩固提高
例1近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400?度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．
（1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式； （2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距．
【分析】 把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题．
kk，把x=0.25，y=400代入，得400=， x0.25100 所以，k=400×0.25=100，即所求的函数关系式为y=．
x 解：（1）设y=
（2）当y=1 000时，1000=
100，解得=0.1m． x3
例2如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．
（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量； （2）写出此函数的解析式；
（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
3
（4）如果每小时排水量是5 000m，那么水池中的水将要多少小时排完？
【分析】 当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例． 解：（1）因为当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例，?所以
3
根据图象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为：4 000×12=48 000（m）． （2）因为此函数为反比例函数，所以解析式为：V= （3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量为：V=
48000； t480003
=8000（m）； 63
（4）如果每小时排水量是5 000m，那么要排完水池中的水所需时间为：t=
480003
=8000（m） 6 备选例题
（2005年中考·四川）制作一种产品，需先将材料加热到达60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x完成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x?成反比例关系（如图所示）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5?分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
【答案】 （1）将材料加热时的关系式为：y=9x+15（0≤x≤5），?停止加热进行操作时的关系式为y=
300（x>5）；（2）20分钟． x （四）总结反思，拓展升华
1．学会把实际问题转化为数学问题，?充分体现数学知识来源于实际生活又服务于实际生活这一原理．
2．能用函数的观点分析、解决实际问题，?让实际问题中的量的关系在数学模型中相互联系，并得到解决． （五）课堂跟踪反馈 夯实基础
1．A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城．
（1）火车的速度v（千米/时）和行驶的时间t（时）之间的函数关系是 v=
720 ． t （2）若到达目的地后，按原路匀速原回，并要求在3小时内回到A城，则返回的速度不能低于 240千米/小时 ．
2．有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的的函数关系是 y=
1，若下底长为x，高为y，则y与x390 ． x3．（2005年中考·长沙）已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为 （A）
4．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（C）
A．小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的关系
2
B．菱形的面积为48cm，它的两条对角线的长为y（cm）与x（cm）的关系
C．一个玻璃容器的体积为30L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系
D．压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系 提升能力
5．面积为2的△ABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x?的变化规律用图象表示大致是（C）
开放探究
6．为了预防流行性感冒，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知，?药物燃烧
时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，?药物燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物8分钟燃毕，此室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请你根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时y关于x的函数关系式为： y=0 3x ，自变量的取值范围是： 448 ； x （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过 30 分钟后，学生才能回到教室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10?分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【答案】 有效，因为燃烧时第4分钟含药量开始高于3毫克，当到第16分钟含药量开始低于3毫克，这样含药量不低于3毫克的时间共有16-4=12分钟，故有效． 第2课时 （一）创设情境，导入新课 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡．也可这样描述：阻力×阻力臂＝动力×动力臂． 为此，他留下一句名言：给我一个支点，我可以撬动地球！ （二）合作交流，解读探究 问题：小伟想用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，?分别是1200N和0.5m． （1）动力F和动力臂L有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，?撬动石头至少要多大的力？ （2）若想使动力F不超过第（1）题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ 600600，当L=1.5时，F==400． l1.51600 （2）由（1）及题意，当F=×400=200时，L==3（m）， 2200 【分析】 （1）由杠杆定律有FL=1200×0.5，即F= ∴要加长3-1.5=1.5（m）． 思考 你能由此题，利用反比例函数知识解释：为什么使用撬棍时，?动力臂越长越省力？ 联想 物理课本上的电学知识告诉我们：用电器的输出功率P（瓦）两端的电压U（伏）、 u2用电器的电阻R（欧姆）有这样的关系PR= u ，也可写为P= ． R2 （三）应用迁移，巩固提高 例1在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示． （1）写出I与R之间的函数解析式； （2）结合图象回答：当电路中的电流不超过12A时，电路中电阻R?的取值范围是什么？ 【分析】 由物理学知识我们知道：当电压一定时，电流强度与电阻成反比例关系． 解：（1）设，根据题目条件知， 当I=6时，R=6，所以， 所以K=36，所以I与R的关系式为：I= （2）电流不超过3A，即I= 36． R36≥12，所以R≥3（Ω）． R3636 注意 因为R>0，所以由≤12，可得R≥． R12 例2某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕） 3 是气球体积V（m）的反比例函数，其图象如图所示（?千帕是一种压强单位）． （1）写出这个函数的解析式； 3 （2）当气球体积为0.8m时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，?气球的体积应不小于多少？ 【分析】 在此题中，求出函数解析式是关键． k，把点A（1.5，64）的V96坐标代入，得k=96，?所以所求的解析式为P=； V963 （2）V=0.8m时，P==120（千帕）； 0.8969623 （3）由题意P≤144（千帕），所以≤144，所以V≥=（m）即气体的体积 V144323 应不小于m． 3 解：设函数的解析式为P= 备选例题 1．（2005年中考变式·荆州）在某一电路中，电流I、电压U、电阻R三者之间满足关系I= U． R （1）当哪个量一定时，另两个量成反比例函数关系？ （2）若I和R之间的函数关系图象如图，试猜想这一电路的电压是______伏． 2．（2005年中考·扬州）已知力F对一个物体作的功是15焦，则力F?与此物体在力
实际问题与反比例函数教案
