同角三角函数的基本关系式与诱导公式易错点 2024高考绝密资料

同角三角函数的基本关系式与诱导公式易错点

主标题：同角三角函数的基本关系式与诱导公式易错点

副标题：从考点分析同角三角函数的基本关系式与诱导公式易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。

关键词：平方关系，商的关系，易错点 难度：2 重要程度：4 内容：

【易错点】

1．对三角函数关系式的理解

(1)若α，β为锐角，sin2 α＋cos2β＝1. (×) sin α

(2)若α∈R，则tan α＝cos α恒成立． (×) 43?π?

(3)(教材练习改编)已知sin α＝5，α∈?2，π?，则cos α＝5. (×)

??2．对诱导公式的认识

(4)六组诱导公式中的角α可以是任意角． (√)

π

(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(√) (6)角π＋α和α终边关于y轴对称．(×) 3．诱导公式的应用

11

(7)若cos(nπ－θ)＝3(n∈Z)，则cos θ＝3. (×) 1?5π?1

(8)已知sin?2＋α?＝5，则cos α＝－5. (×)

?? [剖析]

1．一点提醒 平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中

π

α≠2＋kπ，k∈Z，如(1)、(2)．

2．两个防范 一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，如(3)；二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．

导数在研究函数中的应用

主标题：导数在研究函数中的应用备考策略

副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。 关键词：导数，极值，最值，备考策略 难度：4 重要程度：5 内容

考点一 利用导数研究函数的单调性

【例1】设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2. (1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围． 解 (1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2， ∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)． 令f′(x)>0，即x(ex－2)>0， ∴x>ln 2或x<0.

令f′(x)<0，即x(ex－2)<0，∴0

∴当x≥0时，f′(x)＝x(ex－2k)≥0恒成立． ∴ex－2k≥0，即2k≤ex恒成立． 1

由于ex≥1，∴2k≤1，则k≤2.

1

又当k＝2时，f′(x)＝x(ex－1)≥0当且仅当x＝0时取等号． 1??

因此，实数k的取值范围是?－∞，2?.

??

【备考策略】 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题(2)问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题． (2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．

考点二 利用导数研究函数的极值

13

【例2】 设f(x)＝aln x＋2x＋2x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴． (1)求a的值； (2)求函数f(x)的极值．

审题路线 (1)由f′(1)＝0?求a的值．

(2)确定函数定义域?对f(x)求导，并求f′(x)＝0?判断根左，右f′(x)的符号?确定极值．

13

解 (1)由f(x)＝aln x＋2x＋2x＋1， a13

∴f′(x)＝x－2x2＋2.

由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴， ∴该切线斜率为0，即f′(1)＝0. 13

从而a－2＋2＝0，∴a＝－1.

13

(2)由(1)知，f(x)＝－ln x＋2x＋2x＋1(x>0)， 113?3x＋1??x－1?

∴f′(x)＝－x－2x2＋2＝.

2x21

令f′(x)＝0，解得x＝1或－3(舍去)．

当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. ∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．

故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，f(x)无极大值．

【备考策略】 (1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．

(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．

考点三 利用导数求函数的最值

【例3】已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16. (1)求a，b的值；

(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值． ?f′?2?＝0，

审题路线 (1)??a，b的值；

?f?2?＝c－16

(2)求导确定函数的极大值?求得c值?求得极大值、极小值、端点值?求得最值．

解 (1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b， 由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16， ?f′?2?＝0，?12a＋b＝0，故有?即?

?f?2?＝c－16，?8a＋2b＋c＝c－16.?12a＋b＝0，?a＝1，化简得?解得?

?4a＋b＝－8，?b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12. 令f′(x)＝0，得x＝－2或2.

当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：

x f′(x) f(x) －3 9＋c (－3，－2) ＋ －2 0 极大值 (－2,2) － 2 0 极小值 (2,3) ＋ 3 －9＋c

由表知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.

由题设条件知，16＋c＝28，解得c＝12，

此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.

【备考策略】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．