§3.2 导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减. 2.函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)；
②求方程________的根；
③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得__________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得__________. 3.函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值.
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的________；
②将f(x)的各极值与____________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
[难点正本 疑点清源]
1.可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.
2.可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点，如函数y＝x3在x＝0处
导数为零，但x＝0不是极值点.
3.函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数 在区间内的单调性.
1. f(x)＝3x－x3的单调减区间为_____________________________________________. 2.函数f(x)＝ex－x在区间(－∞，0)内是单调__________(填“增函数”或“减函数”). 3.函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________. 4.如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四个判断： ①f(x)在[－2，－1]上是增函数； ②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x＝3是f(x)的极小值点.
其中正确的判断是________.(填序号)
5.设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则
( ) A.a<－1 1C.a>－
e
B.a>－1 1
D.a<－ e
题型一 利用导数研究函数的单调性
例1 已知函数f(x)＝mx3＋nx2 (m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与x轴平行.
(1)用关于m的代数式表示n； (2)求函数f(x)的单调增区间.
探究提高 利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取得极值－2.
(1)试用c表示a，b；(2)求f(x)的单调递减区间. 题型二 利用导数研究函数的极值
例2 (2010·大纲全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1. (1)设a＝2，求f(x)的单调区间；
(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围.
探究提高 (1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值点. (2)本题的易错点为不对1－a2讨论，致使解答不全面.
ex
(2011·安徽)设f(x)＝，其中a为正实数.
1＋ax24
(1)当a＝时，求f(x)的极值点；
3
(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围. 题型三 利用导数求函数的最值
例3 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，记f(x)的导数为f′(x).
2
(1)若曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝时y＝f(x)有极值，求函数f(x)的
3解析式；
(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值.
探究提高 在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别.求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.
11
(2011·江西)设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
32
2
(1)若f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围；
3
16
(2)当0 3 4.导数法求函数最值问题 试题：(14分)已知函数f(x)＝ln x－ax (a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值. 审题视角 (1)知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解区间.并注意定义域.(2)先研究f(x)在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值.(3)由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论. 规范解答 1 解 (1)f′(x)＝－a (x>0)， x1 ①当a≤0时，f′(x)＝－a>0， x [1分] 即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞). [3分] 11 ②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝， xa1－ax1 当0 ax1－ax1 当x>时，f′(x)＝<0， ax1 0，?， 故函数f(x)的单调递增区间为??a?1?单调递减区间为??a，＋∞?.[5分] 1 (2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，∴f(x)的最小值是f(2)＝ln a2－2a. [9分] 11 ②当≥2，即0 a2∴f(x)的最小值是f(1)＝－a. [10分] 1111 1，?上是增函数，在?，2?上是减函数.又f(2)③当1<<2，即 1 ∴当 2当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a. 综上可知， 当0 用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般 可用以下几步答题： 第一步：求函数f(x)的导数f′(x)； 第二步：求f(x)在给定区间上的单调性和极值； 第三步：求f(x)在给定区间上的端点值； 第四步：将f(x)的各极值与f(x)的端点值比较， 确定f(x)的最大值与最小值； [14 [12分] 第五步：反思回顾：查看关键点，易错点和解 题规范. 批阅笔记 (1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间[1,2]上的最值，属常规题型. (2)本题的难点是分类讨论.考生在分类时易出现不全面，不准确的情况. (3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题. 方法与技巧 1.注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想. 2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小. 3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较. 失误与防范 1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能. 2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论. 3.要强化自己用导数知识处理函数最值、单调性、方程的根、不等式的证明等数学问题的意识. 答案 要点梳理 1.> < 2.(1)①f′(x)>0 f′(x)<0 ②f′(x)<0 f′(x)>0 (2)②f′(x)＝0 ③f′(x)＝0 极大值 极小值 3.(2)f(a) f(b) f(a) f(b) (3)①极值 ②f(a)，f(b) 基础自测 1.(－∞，－1)和(1，＋∞) 2.减函数 3.[－3，＋∞) 4.②③ 5.A 题型分类·深度剖析 例1 解 (1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.
2013届高考数学一轮复习教案3.2导数在研究函数中的应用
